题目

求微分方程 yy ^ n = 2 ( y ' ^ 2 - y ' ) 满足初始条件 y ( 0 ) = 1 , y ' ( 0 ) = 2 的特解

题目解答

答案

令 $y\dot{}=p$ ，则 $y\ddot{}=p\frac{dp}{dy}$ ,代入原方程得 $yp\frac{dp}{dy}=2\left(p^2-p\right)$

p=0时，y=1，为原方程的解。

p≠0时，由 $\frac{dp}{2\left(p-1\right)}=\frac{dy}{y}$ ，解得 $p=ce^{\ln y^2}+1$ 又因为y ' ( 0 ) = 2，所以c=1，所以

$p=y^2+1$ ，所以 $\frac{dy}{dx}=y^2+1\rightarrow\arctan y=x+c$ ,带回原式解得 $y=\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

综上本题答案为 $y=\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

解析

步骤 1：引入变量
令$y'=F$，则$y''=p\dfrac {dp}{dy}$，代入原方程得$p\dfrac {dp}{dy}=2({p}^{2}-p)$。
步骤 2：求解微分方程
p=0时，y=1，为原方程的解。
p≠0时，由$\dfrac {dp}{2(p-1)}=\dfrac {dy}{y}$，解得$0=c{e}^{\ln {y}^{2}}+1$。
步骤 3：应用初始条件
又因为y ' ( 0 ) = 2，所以c=1，所以$={y}^{2}+1$，所以$\dfrac {dy}{dx}={y}^{2}+1\rightarrow \arctan t=x+c$。
步骤 4：求特解
带回原式解得$y=\tan (x+\dfrac {\pi }{4})$。