题目
10.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为次品的概率为0.02，一个次品被误认为合格品的概率为0.05，求在检查后被认为是合格品而产品确是合格品的概率.
10.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为次品的概率为0.02，一个次品被误认为合格品的概率为0.05，求在检查后被认为是合格品而产品确是合格品的概率.
题目解答
答案
设 $ A $ 为产品是合格品的事件，$ B $ 为产品被检查后认为是合格品的事件。已知：
- $ P(A) = 0.96 $，$ P(\overline{A}) = 0.04 $
- $ P(B|A) = 0.98 $，$ P(B|\overline{A}) = 0.05 $
由全概率公式得：
\[
P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0.96 \times 0.98 + 0.04 \times 0.05 = 0.9428
\]
由贝叶斯公式得：
\[
P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} = \frac{0.96 \times 0.98}{0.9428} \approx 0.998
\]
**答案：** $\boxed{0.998}$
解析
步骤 1：定义事件
设 $ A $ 为产品是合格品的事件，$ B $ 为产品被检查后认为是合格品的事件。
步骤 2：已知条件
已知：$ P(A) = 0.96 $，$ P(\overline{A}) = 0.04 $，$ P(B|A) = 0.98 $，$ P(B|\overline{A}) = 0.05 $。
步骤 3：计算 $ P(B) $
由全概率公式得：\[ P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0.96 \times 0.98 + 0.04 \times 0.05 = 0.9428 \]
步骤 4：计算 $ P(A|B) $
由贝叶斯公式得：\[ P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} = \frac{0.96 \times 0.98}{0.9428} \approx 0.998 \]
设 $ A $ 为产品是合格品的事件，$ B $ 为产品被检查后认为是合格品的事件。
步骤 2：已知条件
已知：$ P(A) = 0.96 $，$ P(\overline{A}) = 0.04 $，$ P(B|A) = 0.98 $，$ P(B|\overline{A}) = 0.05 $。
步骤 3：计算 $ P(B) $
由全概率公式得：\[ P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0.96 \times 0.98 + 0.04 \times 0.05 = 0.9428 \]
步骤 4：计算 $ P(A|B) $
由贝叶斯公式得：\[ P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} = \frac{0.96 \times 0.98}{0.9428} \approx 0.998 \]