题目
设矩阵 A_(m times n) 的秩为 m，且 m < n，I_m 为 m 阶单位阵，则下列结论正确的是（） A. A 的任意 m 个列向量必线性无关，B. A 的任意的一个 m 阶子式不等于 0，C. 若矩阵 B 满足 B cdot A = 0，则 B = 0，D. A 通过初等行变换，必可以化为 (I_m, 0) 的形式。
设矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $m$，且 $m < n$，$I_m$ 为 $m$ 阶单位阵，则下列结论正确的是（）
- A. $A$ 的任意 $m$ 个列向量必线性无关，
- B. $A$ 的任意的一个 $m$ 阶子式不等于 $0$，
- C. 若矩阵 $B$ 满足 $B \cdot A = 0$，则 $B = 0$，
- D. $A$ 通过初等行变换，必可以化为 $(I_m, 0)$ 的形式。
题目解答
答案
已知矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩 $r(A) = m < n$，分析各选项：
- **选项A**：任意 $m$ 个列向量线性无关。
反例：$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，第一和第二列线性相关，错误。
- **选项B**：任意 $m$ 阶子式不为零。
反例：$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，子式 $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$，错误。
- **选项C**：若 $BA = 0$，则 $B = 0$。
由 $r(A) = m$，$A$ 的行向量生成 $\mathbb{R}^m$，故 $B$ 的每一行与 $A$ 的列点积为零，推得 $B = 0$，正确。
- **选项D**：可化为 $(I_m, 0)$。
仅用行变换无法保证，需列变换，错误。
**答案：** $\boxed{C}$
解析
步骤 1：分析选项A
矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $m$，意味着矩阵 $A$ 的行空间的维度为 $m$，即矩阵 $A$ 的行向量组的秩为 $m$。然而，这并不意味着矩阵 $A$ 的任意 $m$ 个列向量必线性无关。例如，矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 的秩为 $2$，但第一和第二列线性相关，因此选项A错误。
步骤 2：分析选项B
矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $m$，意味着矩阵 $A$ 的行空间的维度为 $m$，即矩阵 $A$ 的行向量组的秩为 $m$。然而，这并不意味着矩阵 $A$ 的任意一个 $m$ 阶子式不等于 $0$。例如，矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ 的秩为 $2$，但子式 $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$，因此选项B错误。
步骤 3：分析选项C
若矩阵 $B$ 满足 $B \cdot A = 0$，则 $B = 0$。由于矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $m$，矩阵 $A$ 的行向量生成 $\mathbb{R}^m$，因此 $B$ 的每一行与 $A$ 的列点积为零，推得 $B = 0$，因此选项C正确。
步骤 4：分析选项D
矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $m$，意味着矩阵 $A$ 的行空间的维度为 $m$，即矩阵 $A$ 的行向量组的秩为 $m$。然而，这并不意味着矩阵 $A$ 通过初等行变换，必可以化为 $(I_m, 0)$ 的形式。仅用行变换无法保证，需列变换，因此选项D错误。
矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $m$，意味着矩阵 $A$ 的行空间的维度为 $m$，即矩阵 $A$ 的行向量组的秩为 $m$。然而，这并不意味着矩阵 $A$ 的任意 $m$ 个列向量必线性无关。例如，矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 的秩为 $2$，但第一和第二列线性相关，因此选项A错误。
步骤 2：分析选项B
矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $m$，意味着矩阵 $A$ 的行空间的维度为 $m$，即矩阵 $A$ 的行向量组的秩为 $m$。然而，这并不意味着矩阵 $A$ 的任意一个 $m$ 阶子式不等于 $0$。例如，矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ 的秩为 $2$，但子式 $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$，因此选项B错误。
步骤 3：分析选项C
若矩阵 $B$ 满足 $B \cdot A = 0$，则 $B = 0$。由于矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $m$，矩阵 $A$ 的行向量生成 $\mathbb{R}^m$，因此 $B$ 的每一行与 $A$ 的列点积为零，推得 $B = 0$，因此选项C正确。
步骤 4：分析选项D
矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩为 $m$，意味着矩阵 $A$ 的行空间的维度为 $m$，即矩阵 $A$ 的行向量组的秩为 $m$。然而，这并不意味着矩阵 $A$ 通过初等行变换，必可以化为 $(I_m, 0)$ 的形式。仅用行变换无法保证，需列变换，因此选项D错误。