题目
设Sigma为抛物面z=(x^2+y^2)/(2)(0leq zleq 2)，取下侧，则曲面积分iint_(Sigma)4zxdydz-2zdzdx+(1-z^2)dxdy=(）. A. (68)/(3)piB. (32)/(3)piC. 12piD. -12pi
设$\Sigma$为抛物面$z=\frac{x^2+y^2}{2}(0\leq z\leq 2)$，取下侧，则曲面积分$\iint_{\Sigma}4zxdydz-2zdzdx+(1-z^2)dxdy=$(）.
- A. $\frac{68}{3}\pi$
- B. $\frac{32}{3}\pi$
- C. $12\pi$
- D. $-12\pi$
题目解答
答案
将曲面 $\Sigma$ 补充为闭合曲面，包含平面 $\Sigma_1: z=2$（取上侧）。应用高斯公式：
\[
\iint\limits_{\Sigma + \Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint\limits_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV
\]
其中，$\mathbf{F} = (4zx, -2z, 1-z^2)$，散度 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2z$。计算三重积分：
\[
\iiint\limits_{\Omega} 2z \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{\sqrt{2z}} 2zr \, dr \, dz \, d\theta = \frac{32\pi}{3}
\]
平面 $\Sigma_1$ 上的积分为：
\[
\iint\limits_{\Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = -12\pi
\]
因此，原曲面积分为：
\[
\frac{32\pi}{3} - (-12\pi) = \frac{68\pi}{3}
\]
答案：$\boxed{A}$。
解析
步骤 1：确定曲面和补全曲面
给定曲面 $\Sigma$ 为抛物面 $z=\frac{x^2+y^2}{2}$，$0\leq z\leq 2$，取下侧。为了应用高斯公式，我们需要将 $\Sigma$ 补充为一个闭合曲面，因此添加平面 $\Sigma_1: z=2$（取上侧）。
步骤 2：应用高斯公式
高斯公式（散度定理）表明，对于一个闭合曲面 $\Sigma + \Sigma_1$，有
\[ \iint\limits_{\Sigma + \Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint\limits_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \]
其中，$\mathbf{F} = (4zx, -2z, 1-z^2)$，散度 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2z$。计算三重积分：
\[ \iiint\limits_{\Omega} 2z \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{\sqrt{2z}} 2zr \, dr \, dz \, d\theta = \frac{32\pi}{3} \]
步骤 3：计算平面 $\Sigma_1$ 上的积分
平面 $\Sigma_1: z=2$ 上的积分为：
\[ \iint\limits_{\Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = -12\pi \]
因为 $\mathbf{n} = (0,0,1)$，所以 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = 1-z^2 = 1-4 = -3$，积分区域为圆 $x^2+y^2\leq 4$，面积为 $4\pi$，所以积分值为 $-3 \times 4\pi = -12\pi$。
步骤 4：计算原曲面积分
原曲面积分为：
\[ \frac{32\pi}{3} - (-12\pi) = \frac{68\pi}{3} \]
给定曲面 $\Sigma$ 为抛物面 $z=\frac{x^2+y^2}{2}$，$0\leq z\leq 2$，取下侧。为了应用高斯公式，我们需要将 $\Sigma$ 补充为一个闭合曲面，因此添加平面 $\Sigma_1: z=2$（取上侧）。
步骤 2：应用高斯公式
高斯公式（散度定理）表明，对于一个闭合曲面 $\Sigma + \Sigma_1$，有
\[ \iint\limits_{\Sigma + \Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint\limits_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \]
其中，$\mathbf{F} = (4zx, -2z, 1-z^2)$，散度 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2z$。计算三重积分：
\[ \iiint\limits_{\Omega} 2z \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{\sqrt{2z}} 2zr \, dr \, dz \, d\theta = \frac{32\pi}{3} \]
步骤 3：计算平面 $\Sigma_1$ 上的积分
平面 $\Sigma_1: z=2$ 上的积分为：
\[ \iint\limits_{\Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = -12\pi \]
因为 $\mathbf{n} = (0,0,1)$，所以 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = 1-z^2 = 1-4 = -3$，积分区域为圆 $x^2+y^2\leq 4$，面积为 $4\pi$，所以积分值为 $-3 \times 4\pi = -12\pi$。
步骤 4：计算原曲面积分
原曲面积分为：
\[ \frac{32\pi}{3} - (-12\pi) = \frac{68\pi}{3} \]