设A为三阶方阵，|A|=2，|A|=2表示|A|=2中元素|A|=2的代数余子式|A|=2，则|A|=2A.2B.4 C.0 D.1

考查要点：本题主要考查行列式的展开定理及代数余子式的性质，特别是不同行元素与某一行代数余子式乘积之和的性质。

解题核心思路：

1. 行列式展开定理：某一行元素与其代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而其他行元素与该行代数余子式的乘积之和为0。
2. 关键结论：对于三阶矩阵$A$，若计算第$i$行元素与第$k$行代数余子式的乘积之和，则当$i=k$时结果为$|A|$，否则为0。
3. 平方和的性质：根据上述结论，只有当$i=2$时，对应项为$|A|=2$，其余项均为0，最终平方和为$2^2=4$。

步骤分析

1. 理解代数余子式的性质
   根据行列式展开定理，对任意三阶矩阵$A$，有：
   $a_{k1}A_{k1} + a_{k2}A_{k2} + a_{k3}A_{k3} = |A| \quad (\text{按第$k$行展开})$
   而若用其他行的元素与第$k$行的代数余子式相乘求和，则结果为0，即：
   $a_{i1}A_{k1} + a_{i2}A_{k2} + a_{i3}A_{k3} = 0 \quad (i \neq k)$

2. 代入题目条件
   题目中要求计算$\sum_{i=1}^{3} (a_{i1}A_{21} + a_{i2}A_{22} + a_{i3}A_{23})^2$，即对第2行的代数余子式，分别与第1、2、3行元素相乘求和后平方再相加。

   • 当$i=2$时，根据展开定理，和为$|A|=2$；
   • 当$i=1$或$i=3$时，根据性质，和为0。

3. 计算平方和
   因此，平方和为：
   $0^2 + 2^2 + 0^2 = 4$