(4)计算不定积分 int cos sqrt (x)dx.

步骤 1：换元
设 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t\,dt$。
步骤 2：代入
将 $t$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 $\int \cos t \cdot 2t\,dt$。
步骤 3：分部积分
使用分部积分法，设 $u = t$，$dv = \cos t\,dt$，则 $du = dt$，$v = \sin t$。
步骤 4：计算
根据分部积分公式 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$，得到 $\int t\cos t\,dt = t\sin t - \int \sin t\,dt$。
步骤 5：计算剩余积分
$\int \sin t\,dt = -\cos t$。
步骤 6：合并结果
将步骤 4 和步骤 5 的结果合并，得到 $2(t\sin t + \cos t) + C$。
步骤 7：回代
将 $t = \sqrt{x}$ 回代，得到 $2\sqrt{x}\sin \sqrt{x} + 2\cos \sqrt{x} + C$。