题目

设 Sigma 为柱面 x^2 + y^2 = 1，平面 z=0 和 z=1 所围成的空间闭区域的整个边界的外侧，则曲面积分 iint_(Sigma) (x^2 + 2x), dy , dz + (y^2 + 2y), dx , dy = ______。 A. piB. 2piC. 3piD. 4pi

设 $\Sigma$ 为柱面 $x^2 + y^2 = 1$，平面 $z=0$ 和 $z=1$ 所围成的空间闭区域的整个边界的外侧，则曲面积分 $\iint_{\Sigma} (x^2 + 2x)\, dy \, dz + (y^2 + 2y)\, dx \, dy = \_\_\_\_\_\_$。

A. $\pi$
B. $2\pi$
C. $3\pi$
D. $4\pi$

题目解答

答案

将向量场 $\mathbf{F} = (x^2 + 2x, y^2 + 2y, 0)$ 的散度计算为 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + 2y + 4$。转换为柱坐标系，积分范围为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq z \leq 1$。计算体积积分为： \[ \iiint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_{V} (2x + 2y + 4) \, dV = 4\pi \] 答案：$\boxed{D}$。