题目
4.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(x)=f(x-pi)+sin x,且f(x)=x,x∈[0,π),求f(x)在[pi,3π)上的表达式.
4.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足
$f(x)=f(x-\pi)+\sin x,$
且f(x)=x,x∈[0,π),求f(x)在[$\pi$,3π)上的表达式.
题目解答
答案
对于 $ x \in [\pi, 2\pi) $，令 $ y = x - \pi \in [0, \pi) $，则
\[
f(x) = f(y) + \sin x = y + \sin x = x - \pi + \sin x.
\]
对于 $ x \in [2\pi, 3\pi) $，令 $ z = x - \pi \in [\pi, 2\pi) $，则
\[
f(x) = f(z) + \sin x = [z - \pi + \sin z] + \sin x = x - 2\pi + \sin(x - \pi) + \sin x = x - 2\pi.
\]
（利用 $\sin(x - \pi) = -\sin x$）
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{cases}
x - \pi + \sin x & x \in [\pi, 2\pi), \\
x - 2\pi & x \in [2\pi, 3\pi).
\end{cases}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查函数的周期性、递推关系的应用，以及三角函数的恒等变形能力。关键在于利用给定的递推式，将未知区间内的函数值转化为已知区间内的表达式。
解题思路：
- 区间划分：将目标区间$[\pi, 3\pi)$拆分为$[\pi, 2\pi)$和$[2\pi, 3\pi)$两部分，分别处理。
- 递推应用：通过令$x - \pi$落在已知区间$[0, \pi)$或$[\pi, 2\pi)$，利用递推式$f(x) = f(x - \pi) + \sin x$展开。
- 三角恒等式：利用$\sin(x - \pi) = -\sin x$简化表达式。
区间$[\pi, 2\pi)$
- 变量代换：令$y = x - \pi$，则$y \in [0, \pi)$。
- 代入递推式：
$f(x) = f(y) + \sin x = y + \sin x = (x - \pi) + \sin x.$
区间$[2\pi, 3\pi)$
- 变量代换：令$z = x - \pi$，则$z \in [\pi, 2\pi)$。
- 代入递推式：
$f(x) = f(z) + \sin x = [z - \pi + \sin z] + \sin x.$ - 化简表达式：
将$z = x - \pi$代入，并利用$\sin(z) = \sin(x - \pi) = -\sin x$：
$f(x) = (x - \pi - \pi) + (-\sin x) + \sin x = x - 2\pi.$