题目

计算=|(siny-y^3)dx+(x^3 +xcosy)dy,其中=|(siny-y^3)dx+(x^3 +xcosy)dy为沿=|(siny-y^3)dx+(x^3 +xcosy)dy由点=|(siny-y^3)dx+(x^3 +xcosy)dy到点=|(siny-y^3)dx+(x^3 +xcosy)dy的弧段

计算 $I=\int_L^{ }(\sin y-y^3)dx+(x^3+x\cos y)dy$ ,其中 $L$ 为沿 $x^2+y^2=1(x\ge0)$ 由点 $A(0,-1)$ 到点 $B(0,1)$ 的弧段

题目解答

答案

补 $L_1$ 为沿 $y$ 轴从点 $B(0,1)$ 到点 $A(0,-1)$

由格林公式，得到： $\int_{L+L_1}^{ }(\sin y-y^3)dx+(x^3+x\cos y)dy$ $=\iint\limits_{D}^{}\left(3x^2+\cos y\right)-\left(\cos y-3y^2\right)dxdy$

其中 $D$ 是由 $L,L_1$ 围成的区域

故： $\iint\limits_{D}^{}3x^2+3y^2dxdy=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^13r^2\cdot rdr=\frac{3\pi}{4}$

在 $L_1$ 上， $x=0,dx=0,y:1\to-1$

故 $\int_{L_1}^{ }(\sin y-y^3)dx+(x^3+x\cos y)dy=0$

故 $I=\int_L^{ }=\int_{L+L_1}^{ }-\int_{L_1}^{ }=\frac{3\pi}{4}$

解析

步骤 1：补L1为沿轴从点B(0,1)到点A(0,-1)
步骤 2：由格林公式，得到：${\int }_{1+{L}_{1}}(\sin y-{y}^{3})dx+({x}^{3}+x\cos y)dy$$\iint (3{x}^{2}+\cos y)-(\cos y-3{y}^{2})dxdy$
步骤 3：其中是由L,L1围成的区域
步骤 4：故：3x 2,2,2 dxdy= $={\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta $ ${\int }_{0}^{1}3{r}^{2}\cdot rdr=\dfrac {3\pi }{4}$
步骤 5：在L1上，$c=0$ dx=0 $y:1\rightarrow -1$
步骤 6：故${\int }_{{l}_{1}}(\sin y-{y}^{3})dx+({x}^{3}+x\cos y)dy=0$
步骤 7：故$I={U}_{L}={U}_{L+{I}_{1}}-{I}_{{I}_{1}}=\dfrac {3\pi }{4}$