题目
15.设随机变量X的密度函数为-|||-(x)= { , 求a和b.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定密度函数的归一化条件
根据概率密度函数的归一化条件，密度函数在定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{1} (a + bx^2) dx = 1
$$
步骤 2：计算积分并求解a和b的关系
计算上述积分，我们得到：
$$
\int_{0}^{1} (a + bx^2) dx = \left[ ax + \frac{b}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = a + \frac{b}{3} = 1
$$
步骤 3：利用期望值求解a和b
根据期望值的定义，我们有：
$$
E(X) = \int_{0}^{1} x(a + bx^2) dx = \frac{2}{3}
$$
计算上述积分，我们得到：
$$
\int_{0}^{1} x(a + bx^2) dx = \left[ \frac{a}{2}x^2 + \frac{b}{4}x^4 \right]_{0}^{1} = \frac{a}{2} + \frac{b}{4} = \frac{2}{3}
$$
步骤 4：联立两个方程求解a和b
联立步骤2和步骤3中的方程，我们得到：
$$
\begin{cases}
a + \frac{b}{3} = 1 \\
\frac{a}{2} + \frac{b}{4} = \frac{2}{3}
\end{cases}
$$
解这个方程组，我们得到：
$$
a = \frac{1}{3}, b = 2
$$
根据概率密度函数的归一化条件，密度函数在定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{1} (a + bx^2) dx = 1
$$
步骤 2：计算积分并求解a和b的关系
计算上述积分，我们得到：
$$
\int_{0}^{1} (a + bx^2) dx = \left[ ax + \frac{b}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = a + \frac{b}{3} = 1
$$
步骤 3：利用期望值求解a和b
根据期望值的定义，我们有：
$$
E(X) = \int_{0}^{1} x(a + bx^2) dx = \frac{2}{3}
$$
计算上述积分，我们得到：
$$
\int_{0}^{1} x(a + bx^2) dx = \left[ \frac{a}{2}x^2 + \frac{b}{4}x^4 \right]_{0}^{1} = \frac{a}{2} + \frac{b}{4} = \frac{2}{3}
$$
步骤 4：联立两个方程求解a和b
联立步骤2和步骤3中的方程，我们得到：
$$
\begin{cases}
a + \frac{b}{3} = 1 \\
\frac{a}{2} + \frac{b}{4} = \frac{2}{3}
\end{cases}
$$
解这个方程组，我们得到：
$$
a = \frac{1}{3}, b = 2
$$