题目
证明|z1+z2|2+|z1-z2|2=2（|z1|2+|z2|2），并说明其几何意义．
证明|z1+z2|2+|z1-z2|2=2（|z1|2+|z2|2），并说明其几何意义．
题目解答
答案
证明：左边=+
=2()
=2=右边，
∴|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)．
其几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
解析
步骤 1：展开|z_1+z_2|^2和|z_1-z_2|^2
根据复数的模的定义，|z|^2 = z * ¯z，其中z是复数，¯z是z的共轭复数。因此，|z_1+z_2|^2 = (z_1+z_2)(¯¯¯¯¯z_1+¯¯¯¯¯z_2)，|z_1-z_2|^2 = (z_1-z_2)(¯¯¯¯¯z_1-¯¯¯¯¯z_2)。
步骤 2：计算|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2
将步骤1中的表达式相加，得到|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2 = (z_1+z_2)(¯¯¯¯¯z_1+¯¯¯¯¯z_2)+(z_1-z_2)(¯¯¯¯¯z_1-¯¯¯¯¯z_2)。
步骤 3：化简表达式
将步骤2中的表达式展开并化简，得到|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2 = z_1¯¯¯¯¯z_1 + z_1¯¯¯¯¯z_2 + z_2¯¯¯¯¯z_1 + z_2¯¯¯¯¯z_2 + z_1¯¯¯¯¯z_1 - z_1¯¯¯¯¯z_2 - z_2¯¯¯¯¯z_1 + z_2¯¯¯¯¯z_2 = 2(z_1¯¯¯¯¯z_1 + z_2¯¯¯¯¯z_2) = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)。
步骤 4：几何意义
根据复数的几何解释，z_1和z_2可以看作是复平面上的两个向量。|z_1+z_2|^2和|z_1-z_2|^2分别表示这两个向量的和与差的模的平方。因此，|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)的几何意义是平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和。
根据复数的模的定义，|z|^2 = z * ¯z，其中z是复数，¯z是z的共轭复数。因此，|z_1+z_2|^2 = (z_1+z_2)(¯¯¯¯¯z_1+¯¯¯¯¯z_2)，|z_1-z_2|^2 = (z_1-z_2)(¯¯¯¯¯z_1-¯¯¯¯¯z_2)。
步骤 2：计算|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2
将步骤1中的表达式相加，得到|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2 = (z_1+z_2)(¯¯¯¯¯z_1+¯¯¯¯¯z_2)+(z_1-z_2)(¯¯¯¯¯z_1-¯¯¯¯¯z_2)。
步骤 3：化简表达式
将步骤2中的表达式展开并化简，得到|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2 = z_1¯¯¯¯¯z_1 + z_1¯¯¯¯¯z_2 + z_2¯¯¯¯¯z_1 + z_2¯¯¯¯¯z_2 + z_1¯¯¯¯¯z_1 - z_1¯¯¯¯¯z_2 - z_2¯¯¯¯¯z_1 + z_2¯¯¯¯¯z_2 = 2(z_1¯¯¯¯¯z_1 + z_2¯¯¯¯¯z_2) = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)。
步骤 4：几何意义
根据复数的几何解释，z_1和z_2可以看作是复平面上的两个向量。|z_1+z_2|^2和|z_1-z_2|^2分别表示这两个向量的和与差的模的平方。因此，|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)的几何意义是平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和。