1.15 试证: lim _(xarrow 0)dfrac ({R)_(e)z}(z) 不存在.

考查要点：本题主要考查复变函数中复数极限的概念，以及如何通过不同路径趋近于某点来判断极限是否存在。

解题核心思路：在复变函数中，若沿不同路径趋近于某点时函数值趋于不同的结果，则该点的极限不存在。因此，构造不同的趋近路径，计算对应的极限值是否一致是关键。

破题关键点：

1. 将复数表示为$x+yi$，将问题转化为实数表达式。
2. 选择不同路径（如直线$y=kx$）趋近于$z=0$，观察极限是否随路径参数$k$变化而变化。

步骤1：设复数$z$的表达式
令$z = x + yi$（其中$x,y \in \mathbb{R}$），则$\text{Re}(z) = x$，原式变为：
$\frac{\text{Re}(z)}{z} = \frac{x}{x + yi}.$

步骤2：沿直线路径趋近于$z=0$
假设$z$沿直线$y = kx$趋近于$0$（$k$为实数），则$z = x + kx i = x(1 + ki)$，代入得：
$\frac{x}{x(1 + ki)} = \frac{1}{1 + ki}.$

步骤3：分析极限值与$k$的关系
当$x \to 0$时，表达式$\frac{1}{1 + ki}$的值仅取决于$k$。例如：

• 若$k = 0$（沿实轴趋近），极限为$\frac{1}{1} = 1$；
• 若$k = 1$（沿直线$y = x$趋近），极限为$\frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{2}$；
• 若$k = 2$（沿直线$y = 2x$趋近），极限为$\frac{1}{1 + 2i} = \frac{1 - 2i}{5}$。

结论：由于极限值随$k$变化而不同，原极限不存在。