题目
1.15 试证: lim _(xarrow 0)dfrac ({R)_(e)z}(z) 不存在.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义复数 $z$
设 $z = x + yi$，其中 $x$ 和 $y$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。复数 $z$ 的实部 $Rez$ 为 $x$。
步骤 2：计算 $\dfrac {Rez}{z}$
将 $z = x + yi$ 代入 $\dfrac {Rez}{z}$，得到 $\dfrac {x}{x + yi}$。为了方便计算，我们将分子和分母同时乘以 $x - yi$，得到 $\dfrac {x(x - yi)}{(x + yi)(x - yi)} = \dfrac {x^2 - xyi}{x^2 + y^2}$。
步骤 3：分析极限
当 $z$ 趋向于 $0$ 时，$x$ 和 $y$ 都趋向于 $0$。但是，由于 $x$ 和 $y$ 的比例可以任意变化，$\dfrac {x^2 - xyi}{x^2 + y^2}$ 的值也会随着 $x$ 和 $y$ 的比例变化而变化。例如，如果 $y = kx$，则 $\dfrac {x^2 - xyi}{x^2 + y^2} = \dfrac {x^2 - kx^2i}{x^2 + k^2x^2} = \dfrac {1 - ki}{1 + k^2}$。由于 $k$ 可以取任意实数值，$\dfrac {1 - ki}{1 + k^2}$ 的值也会随着 $k$ 的变化而变化，因此 $\lim _{z\rightarrow 0}\dfrac {Rez}{z}$ 不存在。
设 $z = x + yi$，其中 $x$ 和 $y$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。复数 $z$ 的实部 $Rez$ 为 $x$。
步骤 2：计算 $\dfrac {Rez}{z}$
将 $z = x + yi$ 代入 $\dfrac {Rez}{z}$，得到 $\dfrac {x}{x + yi}$。为了方便计算，我们将分子和分母同时乘以 $x - yi$，得到 $\dfrac {x(x - yi)}{(x + yi)(x - yi)} = \dfrac {x^2 - xyi}{x^2 + y^2}$。
步骤 3：分析极限
当 $z$ 趋向于 $0$ 时，$x$ 和 $y$ 都趋向于 $0$。但是，由于 $x$ 和 $y$ 的比例可以任意变化，$\dfrac {x^2 - xyi}{x^2 + y^2}$ 的值也会随着 $x$ 和 $y$ 的比例变化而变化。例如，如果 $y = kx$，则 $\dfrac {x^2 - xyi}{x^2 + y^2} = \dfrac {x^2 - kx^2i}{x^2 + k^2x^2} = \dfrac {1 - ki}{1 + k^2}$。由于 $k$ 可以取任意实数值，$\dfrac {1 - ki}{1 + k^2}$ 的值也会随着 $k$ 的变化而变化，因此 $\lim _{z\rightarrow 0}\dfrac {Rez}{z}$ 不存在。