题目
已知两个线性变换： ) (y)_(1)=2(x)_(1)+(x)_(2) (y)_(2)=3(x)_(1)-(x)_(2)+2(x)_(3) (y)_(3)=4(x)_(1)+2(x)_(2)-(x)_(3) .间的线性关系式.
已知两个线性变换：
试用矩阵方法求出变量
与变量
间的线性关系式.
题目解答
答案
由题目已知线性变换用矩阵表示可得：
由此可得：
于是变量与变量间的线性关系式为：
故答案为：.
解析
步骤 1：将给定的线性变换表示为矩阵形式
首先，将给定的线性变换表示为矩阵形式。对于第一个线性变换，我们有：
\[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]
对于第二个线性变换，我们有：
\[ \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \]
步骤 2：将两个矩阵相乘
为了找到$z$与$x$之间的关系，我们需要将两个矩阵相乘。即：
\[ \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]
计算矩阵乘法：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 5 \\ 6 & 8 & -6 \\ -23 & -4 & -2 \end{pmatrix} \]
步骤 3：写出$z$与$x$之间的线性关系式
根据上述计算，我们得到$z$与$x$之间的线性关系式为：
\[ \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 5 \\ 6 & 8 & -6 \\ -23 & -4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]
即：
\[ z_1 = 4x_1 - 3x_2 + 5x_3 \]
\[ z_2 = 6x_1 + 8x_2 - 6x_3 \]
\[ z_3 = -23x_1 - 4x_2 - 2x_3 \]
首先，将给定的线性变换表示为矩阵形式。对于第一个线性变换，我们有：
\[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]
对于第二个线性变换，我们有：
\[ \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \]
步骤 2：将两个矩阵相乘
为了找到$z$与$x$之间的关系，我们需要将两个矩阵相乘。即：
\[ \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]
计算矩阵乘法：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 5 \\ 6 & 8 & -6 \\ -23 & -4 & -2 \end{pmatrix} \]
步骤 3：写出$z$与$x$之间的线性关系式
根据上述计算，我们得到$z$与$x$之间的线性关系式为：
\[ \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 5 \\ 6 & 8 & -6 \\ -23 & -4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]
即：
\[ z_1 = 4x_1 - 3x_2 + 5x_3 \]
\[ z_2 = 6x_1 + 8x_2 - 6x_3 \]
\[ z_3 = -23x_1 - 4x_2 - 2x_3 \]