L 是圆周 x^2 + y^2 = a^2 的负向一周，则曲线积分 oint_(L) (x^3 - x^2 y)dx + (xy^2 - y^3)dy = ( ).A. -(pi a^4)/(2)B. -pi a^4C. pi a^4D. (2)/(3) pi a^4

步骤 1：定义 $P$ 和 $Q$
设 $P = x^3 - x^2y$，$Q = xy^2 - y^3$，这是曲线积分中的被积函数。

步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = y^2, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -x^2. \]

步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，对于负向一周的圆周 $L$，有 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = -\iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 将偏导数代入，得到 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = -\iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA. \]

步骤 4：转换为极坐标
将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分，得到 \[ \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} r^3 \, dr \, d\theta. \] 计算这个积分，得到 \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} r^3 \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{a} \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{a^4}{4} \, d\theta = \frac{\pi a^4}{2}. \]

步骤 5：计算原积分值
根据步骤 3 和步骤 4 的结果，原积分值为 \[ -\frac{\pi a^4}{2}. \]