题目
4.证明：int_(0)^1x^m(1-x)^ndx=int_(0)^1x^n(1-x)^mdx(m,nin N).
4.证明：$\int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}dx=\int_{0}^{1}x^{n}(1-x)^{m}dx(m,n\in N).$
题目解答
答案
令 $x = 1 - u$，则 $dx = -du$。当 $x$ 从 $0$ 变到 $1$ 时，$u$ 从 $1$ 变到 $0$。代入原积分得：
\[
\int_{0}^{1} x^m (1-x)^n \, dx = \int_{1}^{0} (1-u)^m u^n (-du) = \int_{0}^{1} (1-u)^m u^n \, du.
\]
将变量 $u$ 重命名为 $x$，得：
\[
\int_{0}^{1} (1-x)^m x^n \, dx = \int_{0}^{1} x^n (1-x)^m \, dx.
\]
因此，原等式成立。
\[
\boxed{\int_{0}^{1} x^m (1-x)^n \, dx = \int_{0}^{1} x^n (1-x)^m \, dx}
\]
解析
考查要点：本题主要考查积分变量替换法的应用，以及对积分对称性的理解。关键在于通过变量替换将原积分转换为对称形式，从而证明两个积分相等。
解题核心思路：通过对称性替换（如令$x = 1 - u$），将原积分中的变量进行变换，使得被积函数中的指数$m$和$n$位置互换，同时调整积分限和微分项，最终通过变量重命名完成证明。
破题关键点：
- 选择合适的变量替换，使得替换后的新变量能将原积分转化为目标形式。
- 正确处理积分限和微分项的符号变化，确保积分转换的等价性。
- 变量重命名的合法性，即积分变量的符号不影响积分结果。
步骤1：变量替换
令$x = 1 - u$，则$dx = -du$。当$x$从$0$变到$1$时，$u$从$1$变到$0$。
步骤2：代入原积分
将变量替换代入原积分$\int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n}dx$，得：
$\begin{aligned}\int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n}dx &= \int_{1}^{0} (1-u)^{m} u^{n} (-du) \\&= \int_{0}^{1} (1-u)^{m} u^{n} du.\end{aligned}$
步骤3：变量重命名
将变量$u$重命名为$x$，积分形式不变：
$\int_{0}^{1} (1-u)^{m} u^{n} du = \int_{0}^{1} (1-x)^{m} x^{n} dx.$
结论：
通过变量替换和重命名，原积分$\int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n}dx$被转化为$\int_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{m}dx$，因此等式成立。