题目
设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(m in)服从指数分布,其概率-|||-密度为-|||-_(x)(x)= {e)^-x/5,xgt 0 0, .
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算顾客等待时间超过10分钟的概率
根据题目中给出的概率密度函数 ${f}_{x}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{5}{e}^{-x/5},x\gt 0\\ 0,\end{matrix} \right.$，顾客等待时间超过10分钟的概率为：
$$
p = \int_{10}^{\infty} \frac{1}{5}e^{-x/5} dx
$$
步骤 2：计算积分
$$
p = \int_{10}^{\infty} \frac{1}{5}e^{-x/5} dx = \left[-e^{-x/5}\right]_{10}^{\infty} = e^{-2}
$$
步骤 3：确定Y的分布律
顾客一个月内去银行5次，每次未等到服务而离开的概率为 $e^{-2}$，因此Y的分布律为二项分布 $Y\sim b(5,e^{-2})$，其分布律为：
$$
P\{ Y=k\} =\binom{5}{k}(e^{-2})^k(1-e^{-2})^{5-k}, k=0,1,2,3,4,5
$$
步骤 4：计算 $P\{ X\geqslant 1\}$
$$
P\{ X\geqslant 1\} = 1 - P\{ X < 1\} = 1 - \int_{0}^{1} \frac{1}{5}e^{-x/5} dx = 1 - \left[-e^{-x/5}\right]_{0}^{1} = 1 - (1 - e^{-1/5}) = e^{-1/5}
$$
根据题目中给出的概率密度函数 ${f}_{x}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{5}{e}^{-x/5},x\gt 0\\ 0,\end{matrix} \right.$，顾客等待时间超过10分钟的概率为：
$$
p = \int_{10}^{\infty} \frac{1}{5}e^{-x/5} dx
$$
步骤 2：计算积分
$$
p = \int_{10}^{\infty} \frac{1}{5}e^{-x/5} dx = \left[-e^{-x/5}\right]_{10}^{\infty} = e^{-2}
$$
步骤 3：确定Y的分布律
顾客一个月内去银行5次，每次未等到服务而离开的概率为 $e^{-2}$，因此Y的分布律为二项分布 $Y\sim b(5,e^{-2})$，其分布律为：
$$
P\{ Y=k\} =\binom{5}{k}(e^{-2})^k(1-e^{-2})^{5-k}, k=0,1,2,3,4,5
$$
步骤 4：计算 $P\{ X\geqslant 1\}$
$$
P\{ X\geqslant 1\} = 1 - P\{ X < 1\} = 1 - \int_{0}^{1} \frac{1}{5}e^{-x/5} dx = 1 - \left[-e^{-x/5}\right]_{0}^{1} = 1 - (1 - e^{-1/5}) = e^{-1/5}
$$