设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(m in)服从指数分布,其概率-|||-密度为-|||-_(x)(x)= {e)^-x/5,xgt 0 0, .

考查要点：本题主要考查指数分布的概率计算和二项分布的应用。
解题思路：

1. 确定单次事件概率：计算顾客单次等待超过10分钟的概率，即指数分布的生存函数值。
2. 建立二项分布模型：将每月5次银行访问视为独立重复试验，Y服从二项分布。
3. 计算特定概率：根据二项分布公式计算指定次数的概率。

关键点：

• 指数分布的生存函数：$P(X > x) = e^{-\lambda x}$，其中$\lambda = \frac{1}{5}$。
• 二项分布的参数：试验次数$n=5$，成功概率$p = e^{-2}$。

1. 计算单次离开概率$p$

顾客等待时间$X$服从参数$\lambda = \frac{1}{5}$的指数分布，等待超过10分钟的概率为：
$p = P(X > 10) = \int_{10}^{+\infty} \frac{1}{5} e^{-x/5} \, dx = e^{-10 \cdot \frac{1}{5}} = e^{-2}.$

2. 确定Y的分布律

每月访问银行5次，每次离开是独立事件，因此$Y$服从二项分布：
$Y \sim B\left(5, e^{-2}\right).$
分布律为：
$P(Y = k) = \binom{5}{k} \left(e^{-2}\right)^k \left(1 - e^{-2}\right)^{5 - k}, \quad k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.$

3. 计算$P\{Y = 1\}$

根据二项分布公式：
$P(Y = 1) = \binom{5}{1} \left(e^{-2}\right)^1 \left(1 - e^{-2}\right)^4.$
代入数值计算：
$\binom{5}{1} = 5, \quad e^{-2} \approx 0.1353, \quad 1 - e^{-2} \approx 0.8647,$
$P(Y = 1) \approx 5 \cdot 0.1353 \cdot (0.8647)^4 \approx 5 \cdot 0.1353 \cdot 0.5507 \approx 0.372.$