设f`(x)连续, (0)=0, '(0)=2, 极限 lim _(xarrow 0)dfrac ({int )_(0)^xln cos (x-t)dt}(sqrt {1+{f)^2(x)}-1} 为()

本题考查洛必达法则在0/0型未定式中的应用，以及积分上限函数的求导。解题的关键在于：

1. 变量替换简化积分表达式；
2. 泰勒展开近似处理分子和分母；
3. 洛必达法则的正确应用。

步骤1：变量替换简化积分

令 $u = x - t$，则积分 $\int_{0}^{x} \ln \cos(x-t) \, dt$ 变为 $\int_{0}^{x} \ln \cos u \, du$。

步骤2：应用洛必达法则

原极限为 $\frac{\int_{0}^{x} \ln \cos u \, du}{\sqrt{1+f^2(x)} -1}$，当 $x \to 0$ 时，分子和分母均趋近于0，属于 $0/0$ 型未定式。对分子和分母分别求导：

• 分子导数：$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \ln \cos u \, du = \ln \cos x$；
• 分母导数：$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{1+f^2(x)} -1 \right) = \frac{f(x)f'(x)}{\sqrt{1+f^2(x)}}$。

步骤3：泰勒展开近似

• 分子：$\ln \cos x \approx -\frac{x^2}{2}$；
• 分母：$f(x) \approx 2x$（由 $f(0)=0$ 和 $f'(0)=2$），故分母导数 $\approx \frac{2x \cdot 2}{1} = 4x$。

步骤4：计算极限

代入近似式得：
$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{8} = 0.$