题目

当（ ）时，} kx + z = 0 2x + ky + z = 0 kx - 2y + z = 0 有非零解。A. k = 0B. k = -1C. k = 2D. k = -2

当（ ）时，$\begin{cases} kx + z = 0 \\ 2x + ky + z = 0 \\ kx - 2y + z = 0 \end{cases}$ 有非零解。 A. $k = 0$ B. $k = -1$ C. $k = 2$ D. $k = -2$

题目解答

答案

将方程组写成矩阵形式： \[ \begin{pmatrix} k & 0 & 1 \\ 2 & k & 1 \\ k & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] 方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式为零。计算行列式： \[ \begin{vmatrix} k & 0 & 1 \\ 2 & k & 1 \\ k & -2 & 1 \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} k & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ k & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & k \\ k & -2 \end{vmatrix} \] \[ = k(k \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) + 1(2 \cdot (-2) - k \cdot k) = k(k + 2) + 1(-4 - k^2) = k^2 + 2k - 4 - k^2 = 2k - 4 \] 令行列式等于零： \[ 2k - 4 = 0 \implies k = 2 \] 因此，当 $k = 2$ 时，方程组有非零解。 答案：C. $k = 2$

解析

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组有非零解的条件，即系数矩阵的行列式为零。需要掌握行列式的计算方法。

解题思路：将方程组写成矩阵形式，计算系数矩阵的行列式，令其等于零，解出k的值。关键在于正确展开并简化行列式。

破题关键：行列式展开时注意符号规则，正确计算各余子式，并合并同类项。

将方程组写成矩阵形式：
$\begin{pmatrix}k & 0 & 1 \\2 & k & 1 \\k & -2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$

方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式为零。计算行列式：
$\begin{vmatrix}k & 0 & 1 \\2 & k & 1 \\k & -2 & 1\end{vmatrix}$

按第一行展开：
$\begin{aligned}&= k \cdot \begin{vmatrix} k & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ k & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & k \\ k & -2 \end{vmatrix} \\ &= k(k \cdot 1 - (-2) \cdot 1) + 1(2 \cdot (-2) - k \cdot k) \\ &= k(k + 2) + (-4 - k^2) \\ &= k^2 + 2k - 4 - k^2 \\ &= 2k - 4 \end{aligned}$

令行列式等于零：
$2k - 4 = 0 \implies k = 2$