题目
【题目】把对坐标的曲线积分 ∫_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy 化成对弧长的曲线积分,其中L为:(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1);(2)沿抛物线 y=x^2 从点(0,0)到点(1,1);(3)沿上半圆周 x^2+y^2=2x 从点(0,0)到点(1,1)
【题目】把对坐标的曲线积分 ∫_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy 化成对弧长的曲线积分,其中L为:(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1);(2)沿抛物线 y=x^2 从点(0,0)到点(1,1);(3)沿上半圆周 x^2+y^2=2x 从点(0,0)到点(1,1)
题目解答
答案
【解析】弦满足csacsB=o=方于是∫_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫_L[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]dx =∫_0^((P(x_12)+Q(x_⋅y))/dx (2)L由如下的参数方程给出:x=x, y=x^2 ,x由小到大地从0变到1,故L的切向量为 T=(1,y'(x))=(1,2x) ,其方向余弦为cosα=1/(√(1+sin^2(x))=1/(√(1+4x^2)) cosβ=(y'(x))/(√(1+y^2)(x))=(2x)/(√(1+4x^2)) 于是∫_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫_L(P(x,y)+2xQ(x,y))/(√(1+4x^2))dx (3)L由如下的参数方程给出:x=x, y=√(2x-x^2) ,x由小到大地从0变到1,故L的切向量的方向余弦为cosα=1/(√(1+))^2(x)=1/(√(1+((1-x)/^2)^2))=√(2x-x^2) B=(y'(x))/(√(1+y^2)(x))=(1-x)/(√(2x-x^2))⋅√(2x-x^2)=1=x 于是∫_L(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫(√(2x-x^2)P(x,y)+(1-x)Q(x,y)]dx
解析
【解析】
步骤 1：直线段L的参数方程
直线段L的参数方程为：x=t, y=t, 其中t从0变到1。因此，dx=dt, dy=dt。
步骤 2：直线段L的切向量和方向余弦
直线段L的切向量为T=(1,1)，其方向余弦为cosα=1/√2, cosβ=1/√2。
步骤 3：将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分
将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，得到：
∫_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫_L[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]ds=∫_0^1[P(t,t)+Q(t,t)]√2dt
步骤 4：抛物线段L的参数方程
抛物线段L的参数方程为：x=t, y=t^2, 其中t从0变到1。因此，dx=dt, dy=2tdt。
步骤 5：抛物线段L的切向量和方向余弦
抛物线段L的切向量为T=(1,2t)，其方向余弦为cosα=1/√(1+4t^2), cosβ=2t/√(1+4t^2)。
步骤 6：将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分
将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，得到：
∫_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫_L[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]ds=∫_0^1[P(t,t^2)+2tQ(t,t^2)]√(1+4t^2)dt
步骤 7：上半圆周L的参数方程
上半圆周L的参数方程为：x=1+cosθ, y=sinθ, 其中θ从π变到0。因此，dx=-sinθdθ, dy=cosθdθ。
步骤 8：上半圆周L的切向量和方向余弦
上半圆周L的切向量为T=(-sinθ,cosθ)，其方向余弦为cosα=-sinθ, cosβ=cosθ。
步骤 9：将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分
将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，得到：
∫_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫_L[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]ds=∫_π^0[-P(1+cosθ,sinθ)sinθ+Q(1+cosθ,sinθ)cosθ]dθ
步骤 1：直线段L的参数方程
直线段L的参数方程为：x=t, y=t, 其中t从0变到1。因此，dx=dt, dy=dt。
步骤 2：直线段L的切向量和方向余弦
直线段L的切向量为T=(1,1)，其方向余弦为cosα=1/√2, cosβ=1/√2。
步骤 3：将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分
将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，得到：
∫_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫_L[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]ds=∫_0^1[P(t,t)+Q(t,t)]√2dt
步骤 4：抛物线段L的参数方程
抛物线段L的参数方程为：x=t, y=t^2, 其中t从0变到1。因此，dx=dt, dy=2tdt。
步骤 5：抛物线段L的切向量和方向余弦
抛物线段L的切向量为T=(1,2t)，其方向余弦为cosα=1/√(1+4t^2), cosβ=2t/√(1+4t^2)。
步骤 6：将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分
将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，得到：
∫_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫_L[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]ds=∫_0^1[P(t,t^2)+2tQ(t,t^2)]√(1+4t^2)dt
步骤 7：上半圆周L的参数方程
上半圆周L的参数方程为：x=1+cosθ, y=sinθ, 其中θ从π变到0。因此，dx=-sinθdθ, dy=cosθdθ。
步骤 8：上半圆周L的切向量和方向余弦
上半圆周L的切向量为T=(-sinθ,cosθ)，其方向余弦为cosα=-sinθ, cosβ=cosθ。
步骤 9：将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分
将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，得到：
∫_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫_L[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]ds=∫_π^0[-P(1+cosθ,sinθ)sinθ+Q(1+cosθ,sinθ)cosθ]dθ