7.[甲选题]如果函数-|||-f(z)=u+iv-|||-在-|||-z=x+iy-|||-点可导,则-|||-'(2)=-|||-()()-|||-bigcirc A. '+iv'-|||-bigcirc B. _(x)+iv'x-|||-bigcirc C. _(y)+iv'v'-|||-bigcirc D. _(x)+dot (v)(v)_(y)

考查要点：本题主要考查复变函数可导的条件及导数的计算，涉及柯西-黎曼方程的应用。

解题核心思路：
当函数 $f(z)=u+iv$ 在复平面内某点可导时，其导数 $f'(z)$ 可通过 柯西-黎曼方程 将偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$、$\frac{\partial u}{\partial y}$ 等组合表达。关键在于正确应用偏导数关系，排除不符合条件的选项。

破题关键点：

1. 柯西-黎曼方程：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$。
2. 导数公式：$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$ 或等价形式 $\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial y}$。

根据复变函数可导的定义，若 $f(z)=u+iv$ 在 $z=x+iy$ 处可导，则其导数为：
$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$
或等价地，利用柯西-黎曼方程 $\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}$，可写为：
$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial y}$

选项分析：

• 选项A：$u' + iv'$，若 $u'$ 和 $v'$ 分别表示 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial y}$，则与上述公式一致。
• 选项B：$u_x + v_x$，未考虑虚数单位 $i$，错误。
• 选项C：$u_y + ivy^2$，引入无关项 $y^2$，错误。
• 选项D：$u_x' + v''y$，符号和形式混乱，错误。