求微分方程 '=yln dfrac (y)(x) 的通解.

考查要点：本题主要考查齐次微分方程的解法，通过变量代换将方程转化为可分离变量方程，进而求解通解。

解题核心思路：

1. 识别齐次方程：方程右边为$\ln \dfrac{y}{x}$，属于齐次函数形式。
2. 变量代换：令$y = ux$，将方程转化为关于$u$和$x$的可分离变量方程。
3. 分离变量与积分：通过分离变量法积分求解，注意积分常数的处理。
4. 回代与整理：将中间变量$u$替换回原变量$y$，并整理得到通解。

破题关键点：

• 正确代换：通过$y = ux$简化方程结构。
• 分离变量技巧：将方程变形为$\dfrac{1}{u(\ln u -1)} du = \dfrac{1}{x} dx$。
• 积分与化简：通过积分并整理对数表达式，最终得到通解形式。

步骤1：变量代换
令$y = ux$，则$y' = u + x u'$。代入原方程$xy' = y \ln \dfrac{y}{x}$，得：
$x(u + x u') = ux \cdot \ln u$
化简后：
$u + x u' = u \ln u \quad \Rightarrow \quad x u' = u (\ln u - 1)$

步骤2：分离变量
将方程改写为：
$\frac{du}{dx} = \frac{u (\ln u - 1)}{x}$
分离变量：
$\frac{1}{u (\ln u - 1)} du = \frac{1}{x} dx$

步骤3：积分求解
对两边积分：
$\int \frac{1}{u (\ln u - 1)} du = \int \frac{1}{x} dx$
令$t = \ln u - 1$，则$dt = \dfrac{1}{u} du$，左边积分变为：
$\int \frac{1}{t} dt = \ln |t| + C_1 = \ln |\ln u - 1| + C_1$
右边积分结果为：
$\ln |x| + C_2$
合并常数，得：
$\ln |\ln u - 1| = \ln |x| + C$

步骤4：回代与整理
指数化简：
$|\ln u - 1| = C |x| \quad \Rightarrow \quad \ln u - 1 = C x$
解得：
$\ln u = 1 + C x \quad \Rightarrow \quad u = e^{1 + C x}$
回代$u = \dfrac{y}{x}$，得通解：
$y = x e^{1 + C x}$

步骤5：验证特殊情况
当$u (\ln u - 1) = 0$时：

• 若$u = 0$，则$y = 0$，代入原方程成立。
• 若$\ln u - 1 = 0$，则$u = e$，对应$y = e x$，代入原方程也成立。
  此时$C = 0$时，通解$y = x e^{1 + 0 \cdot x} = e x$，故无需额外添加解。