题目
1.证明：若E有界，则m^*E<infty.
1.证明：若E有界，则$m^{*}E<\infty$.
题目解答
答案
设 $E$ 为有界集，则存在有限正数 $M$，使得 $E \subseteq B(0, M)$，其中 $B(0, M)$ 是以原点为中心、半径为 $M$ 的球。球的体积 $V = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} M^n$ 为有限值。由外测度定义，$m^*E$ 不超过任何覆盖 $E$ 的可数开区间体积和的下确界。取立方体 $Q$ 覆盖 $E$，其体积 $|Q|$ 有限，故 $m^*E \leq |Q| < \infty$。因此，若 $E$ 有界，则 $m^*E < \infty$。
\[
\boxed{m^*E < \infty}
\]
解析
考查要点：本题主要考查勒贝格外测度的基本性质及有界集的性质。关键在于理解外测度的定义，并能结合有界集的几何特性进行推导。
解题核心思路：
- 有界集的几何特性：有界集被某个有限体积的开集（如球或立方体）包含。
- 外测度的定义：外测度是覆盖集所有可能开集覆盖中体积和的下确界。
- 有限体积的传递性：若存在有限体积的开集覆盖$E$，则外测度必然有限。
破题关键点：
- 构造有限体积的开覆盖：利用有界集的定义，找到包含$E$的有限体积开集（如球或立方体）。
- 应用外测度的定义：通过比较外测度与该开集体积的关系，直接得出结论。
步骤1：利用有界集的定义
设$E$为有界集，则存在有限正数$M$，使得$E \subseteq B(0, M)$，其中$B(0, M)$是以原点为中心、半径为$M$的开球。此时，开球的体积为：
$V = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} M^n$
显然，$V$是有限的。
步骤2：构造开覆盖并应用外测度定义
根据外测度的定义，$m^*E$是覆盖$E$的所有可数开集族体积和的下确界。特别地，单个开球$B(0, M)$即可覆盖$E$，因此：
$m^*E \leq V < \infty$
同理，若用边长为$2M$的开立方体$Q$覆盖$E$，其体积为$(2M)^n$，同样有限，故：
$m^*E \leq |Q| < \infty$
结论：无论选择开球还是开立方体，外测度$m^*E$均不超过有限体积，因此$m^*E < \infty$。