题目
1.证明：若E有界，则m^*E<infty.
1.证明：若E有界，则$m^{*}E<\infty$.
题目解答
答案
设 $E$ 为有界集，则存在有限正数 $M$，使得 $E \subseteq B(0, M)$，其中 $B(0, M)$ 是以原点为中心、半径为 $M$ 的球。球的体积 $V = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} M^n$ 为有限值。由外测度定义，$m^*E$ 不超过任何覆盖 $E$ 的可数开区间体积和的下确界。取立方体 $Q$ 覆盖 $E$，其体积 $|Q|$ 有限，故 $m^*E \leq |Q| < \infty$。因此，若 $E$ 有界，则 $m^*E < \infty$。
\[
\boxed{m^*E < \infty}
\]