题目

3.求解线性方程组 ) (x)_(1)+2(x)_(2)-(x)_(3)+2(x)_(4)=1 2(x)_(1)+4(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=5 -(x)_(1)-2(x)_(2)-2(x)_(3) .

3.求解线性方程组 $\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{3}+2x_{4}=1 \newline 2x_{1}+4x_{2}+x_{3}+x_{4}=5 \newline -x_{1}-2x_{2}-2x_{3}+x_{4}=-3 \end{cases}$

题目解答

答案

解：根据方程组可得到该方程组的增广矩阵并对其进行初等行变换化为阶梯形矩阵： $(A,b)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 &2&1\newline 2 & 4 & 1 & 1 &5\newline -1& -2 &-2 & 1 & -3 \end{pmatrix}\overset{r_{2}-2r_{1}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 &2&1\newline 0 & 0 & 3 & -3 &3\newline -1& -2 &-2 & 1 & -3 \end{pmatrix}\overset{r_{3}+r_{1}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 &2&1\newline 0 & 0 & 3 & -3 &3\newline 0& 0 &-3 & 3 & -2 \end{pmatrix}\overset{r_{3}+r_{2}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 &2&1\newline 0 & 0 & 3 & -3 &3\newline 0& 0 &0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

相应阶梯形方程组出现"0=1"的形式，所以原方程无解。

解析

步骤 1：写出增广矩阵
根据给定的线性方程组，写出其增广矩阵形式。增广矩阵是将系数矩阵和常数项合并成一个矩阵，用于求解线性方程组。
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & -1 & 2 & 1 \\
2 & 4 & 1 & 1 & 5 \\
-1 & -2 & -2 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，化为阶梯形矩阵。初等行变换包括：交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数。
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 3 & -3 & 3 \\
0 & 0 & -3 & 2 & 1
\end{array}\right]
$$
步骤 3：分析阶梯形矩阵
观察阶梯形矩阵，发现第三行出现了"0=1"的形式，这表明原方程组无解。