题目
求曲面=(e)^z-2xy+3在点=(e)^z-2xy+3处的切平面方程及法线方程。
求曲面
在点
处的切平面方程及法线方程。
题目解答
答案
由曲面构造方程
，分别对
求导，得到
，
，
，代入点，根据公式，有切平面方程为
，法线方程为
。
解析
步骤 1：构造方程
构造方程$F(x,y,z)=z-{e}^{x}+2xy-3=0$，以便于后续求导。
步骤 2：求偏导数
分别对$x$，$y$，$z$求偏导数，得到$F_{x}'=-{e}^{x}$，$F_{y}'=2x$，$F_{z}'=1-{e}^{z}$。
步骤 3：代入点(1,2,0)
将点(1,2,0)代入上述偏导数，得到$F_{x}'=-{e}^{1}=-e$，$F_{y}'=2*1=2$，$F_{z}'=1-{e}^{0}=0$。
步骤 4：求切平面方程
根据公式，切平面方程为$F_{x}'(x-1)+F_{y}'(y-2)+F_{z}'(z-0)=0$，代入偏导数，得到$-e(x-1)+2(y-2)+0(z-0)=0$，化简得到$-ex+2y-4+e=0$。
步骤 5：求法线方程
根据公式，法线方程为$\dfrac {x-1}{F_{x}'}=\dfrac {y-2}{F_{y}'}=\dfrac {z-0}{F_{z}'}$，代入偏导数，得到$\dfrac {x-1}{-e}=\dfrac {y-2}{2}=\dfrac {z}{0}$。
构造方程$F(x,y,z)=z-{e}^{x}+2xy-3=0$，以便于后续求导。
步骤 2：求偏导数
分别对$x$，$y$，$z$求偏导数，得到$F_{x}'=-{e}^{x}$，$F_{y}'=2x$，$F_{z}'=1-{e}^{z}$。
步骤 3：代入点(1,2,0)
将点(1,2,0)代入上述偏导数，得到$F_{x}'=-{e}^{1}=-e$，$F_{y}'=2*1=2$，$F_{z}'=1-{e}^{0}=0$。
步骤 4：求切平面方程
根据公式，切平面方程为$F_{x}'(x-1)+F_{y}'(y-2)+F_{z}'(z-0)=0$，代入偏导数，得到$-e(x-1)+2(y-2)+0(z-0)=0$，化简得到$-ex+2y-4+e=0$。
步骤 5：求法线方程
根据公式，法线方程为$\dfrac {x-1}{F_{x}'}=\dfrac {y-2}{F_{y}'}=\dfrac {z-0}{F_{z}'}$，代入偏导数，得到$\dfrac {x-1}{-e}=\dfrac {y-2}{2}=\dfrac {z}{0}$。