题目
3.若 (x)_(0)+b(y)_(0) 是形如 ax+by(x,y 是任意整数,a,b是两个不全为零的整数)的数中的最小正-|||-数,则-|||-.(a(x)_(0)+b(y)_(0))|(ax+by) -
题目解答
答案
本题考查了数的整除性,题的关键是弄清题意,理清证明的思路,注意整除的定义.
根据题意,首先证明$ax+by$是$ax_{0}+by_{0}$的倍数,再证明$ax+by$是$ax_{0}+by_{0}$的最小倍数,即可得证.
证明:首先我们证明$ax+by$是$ax_{0}+by_{0}$的倍数.若不然,由带余除法可知:$ax+by=(ax_{0}+by_{0})q+r$,$0< r< ax_{0}+by_{0}$,即$r=a(x-x_{0}q)+b(y-y_{0}q)$,这表明$r$也是形如$ax+by$的数,且$0< r< ax_{0}+by_{0}$,这与$ax_{0}+by_{0}$是形如$ax+by$的数中的最小正数矛盾.故$ax+by$是$ax_{0}+by_{0}$的倍数.
其次我们证明$ax+by$是$ax_{0}+by_{0}$的最小倍数.若不然,设$ax+by=(ax_{0}+by_{0})k$,$k< q$,则$0< (ax+by)-(ax_{0}+by_{0})k< ax_{0}+by_{0}$,这与$ax_{0}+by_{0}$是形如$ax+by$的数中的最小正数矛盾.故$ax+by$是$ax_{0}+by_{0}$的最小倍数.
根据题意,首先证明$ax+by$是$ax_{0}+by_{0}$的倍数,再证明$ax+by$是$ax_{0}+by_{0}$的最小倍数,即可得证.
证明:首先我们证明$ax+by$是$ax_{0}+by_{0}$的倍数.若不然,由带余除法可知:$ax+by=(ax_{0}+by_{0})q+r$,$0< r< ax_{0}+by_{0}$,即$r=a(x-x_{0}q)+b(y-y_{0}q)$,这表明$r$也是形如$ax+by$的数,且$0< r< ax_{0}+by_{0}$,这与$ax_{0}+by_{0}$是形如$ax+by$的数中的最小正数矛盾.故$ax+by$是$ax_{0}+by_{0}$的倍数.
其次我们证明$ax+by$是$ax_{0}+by_{0}$的最小倍数.若不然,设$ax+by=(ax_{0}+by_{0})k$,$k< q$,则$0< (ax+by)-(ax_{0}+by_{0})k< ax_{0}+by_{0}$,这与$ax_{0}+by_{0}$是形如$ax+by$的数中的最小正数矛盾.故$ax+by$是$ax_{0}+by_{0}$的最小倍数.
解析
步骤 1：证明 $ax+by$ 是 $ax_{0}+by_{0}$ 的倍数
假设 $ax+by$ 不是 $ax_{0}+by_{0}$ 的倍数，那么根据带余除法，存在整数 $q$ 和 $r$，使得 $ax+by=(ax_{0}+by_{0})q+r$，其中 $0< r< ax_{0}+by_{0}$。这意味着 $r=a(x-x_{0}q)+b(y-y_{0}q)$，即 $r$ 也是形如 $ax+by$ 的数，且 $0< r< ax_{0}+by_{0}$，这与 $ax_{0}+by_{0}$ 是形如 $ax+by$ 的数中的最小正数矛盾。因此，$ax+by$ 必须是 $ax_{0}+by_{0}$ 的倍数。
步骤 2：证明 $ax+by$ 是 $ax_{0}+by_{0}$ 的最小倍数
假设 $ax+by$ 不是 $ax_{0}+by_{0}$ 的最小倍数，那么存在整数 $k$，使得 $ax+by=(ax_{0}+by_{0})k$，其中 $k< q$。这意味着 $0< (ax+by)-(ax_{0}+by_{0})k< ax_{0}+by_{0}$，这与 $ax_{0}+by_{0}$ 是形如 $ax+by$ 的数中的最小正数矛盾。因此，$ax+by$ 必须是 $ax_{0}+by_{0}$ 的最小倍数。
假设 $ax+by$ 不是 $ax_{0}+by_{0}$ 的倍数，那么根据带余除法，存在整数 $q$ 和 $r$，使得 $ax+by=(ax_{0}+by_{0})q+r$，其中 $0< r< ax_{0}+by_{0}$。这意味着 $r=a(x-x_{0}q)+b(y-y_{0}q)$，即 $r$ 也是形如 $ax+by$ 的数，且 $0< r< ax_{0}+by_{0}$，这与 $ax_{0}+by_{0}$ 是形如 $ax+by$ 的数中的最小正数矛盾。因此，$ax+by$ 必须是 $ax_{0}+by_{0}$ 的倍数。
步骤 2：证明 $ax+by$ 是 $ax_{0}+by_{0}$ 的最小倍数
假设 $ax+by$ 不是 $ax_{0}+by_{0}$ 的最小倍数，那么存在整数 $k$，使得 $ax+by=(ax_{0}+by_{0})k$，其中 $k< q$。这意味着 $0< (ax+by)-(ax_{0}+by_{0})k< ax_{0}+by_{0}$，这与 $ax_{0}+by_{0}$ 是形如 $ax+by$ 的数中的最小正数矛盾。因此，$ax+by$ 必须是 $ax_{0}+by_{0}$ 的最小倍数。