[题目] int (cos )^2dfrac (x)(2)dx= __

考查要点：本题主要考查利用三角恒等式简化被积函数的能力，以及基本积分公式的应用。

解题核心思路：
对于形如$\cos^2\theta$的积分，通常使用降幂公式$\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$进行化简，将二次三角函数转化为一次三角函数，从而方便积分。

破题关键点：

1. 识别被积函数形式：$\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)$符合降幂公式的适用条件。
2. 正确代入恒等式：令$\theta = \dfrac{x}{2}$，则$2\theta = x$，代入公式后展开积分。
3. 分项积分：将积分拆分为多项式函数和三角函数的积分，分别计算后合并结果。

步骤1：应用降幂公式
根据三角恒等式$\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$，令$\theta = \dfrac{x}{2}$，则：
$\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1 + \cos x}{2}$

步骤2：展开积分
将原积分转化为：
$\int \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) dx = \int \dfrac{1 + \cos x}{2} dx$

步骤3：分项积分
拆分为两个简单积分：
$\int \dfrac{1}{2} dx + \int \dfrac{\cos x}{2} dx$

步骤4：逐项计算

1. 第一项积分：
   $\int \dfrac{1}{2} dx = \dfrac{1}{2}x + C_1$
2. 第二项积分：
   $\int \dfrac{\cos x}{2} dx = \dfrac{1}{2} \sin x + C_2$

步骤5：合并结果
将两部分结果相加，并合并常数项：
$\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}\sin x + C$