题目
求由下列方程所确定的隐函数的导数 dfrac (dy)(dx)-|||-(1) ^2-2xy+9=0;-|||-(2) ^3+(y)^3-3axy=0;-|||-(3) =(e)^x+y;-|||-(4) =1-x(e)^y.
题目解答
答案
解析
步骤 1：对方程 ${y}^{2}-2xy+9=0$ 求导
对x求导，得到 $2yy'-2y-2xy'=0$，从而 $y'=\dfrac {y}{y-x}$，其中 y=y(x) 是由方程 ${y}^{2}-2xy+9=0$ 所确定的隐函数。
步骤 2：对方程 ${x}^{3}+{y}^{3}-3axy=0$ 求导
对x求导，得到 $3{x}^{2}+3{y}^{2}y'-3ay-3axy'=0$，从而 $y'=\dfrac {ay-{x}^{2}}{{y}^{2}-ax}$，其中 y=y(x) 是由方程 ${x}^{3}+{y}^{3}-3axy=0$ 所确定的隐函数。
步骤 3：对方程 $xy={e}^{x+y}$ 求导
对x求导，得到 $y+xy'={e}^{x+y}(1+y')$，从而 $y'=\dfrac {{e}^{x+y}-y}{x-{e}^{x+y}}$，其中 y=y(x) 是由方程 $xy={e}^{x+y}$ 所确定的隐函数。
步骤 4：对方程 $y=1-x{e}^{y}$ 求导
对x求导，得到 $y'=-{e}^{y}-x{e}^{y}y'$，从而 $y'=-\dfrac {{e}^{y}}{1+x{e}^{y}}$，其中 y=y(x) 是由方程 $y=1-x{e}^{y}$ 所确定的隐函数。
对x求导，得到 $2yy'-2y-2xy'=0$，从而 $y'=\dfrac {y}{y-x}$，其中 y=y(x) 是由方程 ${y}^{2}-2xy+9=0$ 所确定的隐函数。
步骤 2：对方程 ${x}^{3}+{y}^{3}-3axy=0$ 求导
对x求导，得到 $3{x}^{2}+3{y}^{2}y'-3ay-3axy'=0$，从而 $y'=\dfrac {ay-{x}^{2}}{{y}^{2}-ax}$，其中 y=y(x) 是由方程 ${x}^{3}+{y}^{3}-3axy=0$ 所确定的隐函数。
步骤 3：对方程 $xy={e}^{x+y}$ 求导
对x求导，得到 $y+xy'={e}^{x+y}(1+y')$，从而 $y'=\dfrac {{e}^{x+y}-y}{x-{e}^{x+y}}$，其中 y=y(x) 是由方程 $xy={e}^{x+y}$ 所确定的隐函数。
步骤 4：对方程 $y=1-x{e}^{y}$ 求导
对x求导，得到 $y'=-{e}^{y}-x{e}^{y}y'$，从而 $y'=-\dfrac {{e}^{y}}{1+x{e}^{y}}$，其中 y=y(x) 是由方程 $y=1-x{e}^{y}$ 所确定的隐函数。