求由下列方程所确定的隐函数的导数 dfrac (dy)(dx)-|||-(1) ^2-2xy+9=0;-|||-(2) ^3+(y)^3-3axy=0;-|||-(3) =(e)^x+y;-|||-(4) =1-x(e)^y.

隐函数求导的核心思路是对等式两边同时关于$x$求导，利用链式法则和乘积法则处理含有$y$的项，再解出$\dfrac{dy}{dx}$。关键点在于：

1. 将$y$视为$x$的函数，对含$y$的项使用链式法则；
2. 整理含$y'$的项，将其余项移到等式另一边；
3. 解方程，最终表达式化简为$\dfrac{dy}{dx}$的显式形式。

(1) $y^2 - 2xy + 9 = 0$

对$x$求导

• $y^2$导数为$2y \cdot y'$；
• $-2xy$导数为$-2y - 2x y'$（乘积法则）；
• 常数项$9$导数为$0$。

整理方程

$2y y' - 2y - 2x y' = 0$

解出$y'$

提取$y'$项：
$y'(2y - 2x) = 2y \implies y' = \dfrac{2y}{2(y - x)} = \dfrac{y}{y - x}$

(2) $x^3 + y^3 - 3axy = 0$

对$x$求导

• $x^3$导数为$3x^2$；
• $y^3$导数为$3y^2 y'$；
• $-3axy$导数为$-3a(y + x y')$（乘积法则）。

整理方程

$3x^2 + 3y^2 y' - 3a y - 3a x y' = 0$

解出$y'$

提取$y'$项：
$y'(3y^2 - 3a x) = 3a y - 3x^2 \implies y' = \dfrac{a y - x^2}{y^2 - a x}$

(3) $xy = e^{x+y}$

对$x$求导

• 左边$xy$导数为$y + x y'$（乘积法则）；
• 右边$e^{x+y}$导数为$e^{x+y}(1 + y')$（链式法则）。

整理方程

$y + x y' = e^{x+y}(1 + y')$

解出$y'$

移项整理：
$x y' - e^{x+y} y' = e^{x+y} - y \implies y' = \dfrac{e^{x+y} - y}{x - e^{x+y}}$

(4) $y = 1 - x e^y$

对$x$求导

• 左边$y$导数为$y'$；
• 右边$-x e^y$导数为$-e^y - x e^y y'$（乘积法则）。

整理方程

$y' = -e^y - x e^y y'$

解出$y'$

提取$y'$项：
$y'(1 + x e^y) = -e^y \implies y' = -\dfrac{e^y}{1 + x e^y}$