已知 =f(dfrac (3x-2)(3x+2)) '(x)=arctan (x)^2, 则 dfrac (dy)(dx)(|)_(x=0)=.

考查要点：本题主要考查复合函数的求导法则（链式法则）以及分式函数的导数计算，同时涉及反三角函数的求值。

解题核心思路：

1. 识别复合结构：函数$y = f\left(\dfrac{3x-2}{3x+2}\right)$是复合函数，外层为$f(u)$，内层为$u = \dfrac{3x-2}{3x+2}$。
2. 应用链式法则：$\dfrac{dy}{dx} = f'(u) \cdot u'$，其中$f'(u)$由已知条件$f'(x) = \arctan{x^2}$确定，$u'$需通过分式求导计算。
3. 代入$x=0$求值：注意代入时需先计算内层函数的值，再代入外层函数。

破题关键点：

• 正确应用链式法则，明确内外层函数的导数关系。
• 准确计算分式函数的导数，避免符号错误。
• 特殊角的反三角函数值：$\arctan{1} = \dfrac{\pi}{4}$。

1. 求外层函数的导数$f'(u)$
   已知$f'(x) = \arctan{x^2}$，因此：
   $f'\left(\dfrac{3x-2}{3x+2}\right) = \arctan{\left(\dfrac{3x-2}{3x+2}\right)^2}.$

2. 求内层函数$u = \dfrac{3x-2}{3x+2}$的导数$u'$
   使用分式求导法则：
   $u' = \dfrac{(3)(3x+2) - (3x-2)(3)}{(3x+2)^2} = \dfrac{9x + 6 - 9x + 6}{(3x+2)^2} = \dfrac{12}{(3x+2)^2}.$

3. 组合链式法则结果
   $\dfrac{dy}{dx} = f'\left(\dfrac{3x-2}{3x+2}\right) \cdot \dfrac{12}{(3x+2)^2} = \dfrac{12}{(3x+2)^2} \cdot \arctan{\left(\dfrac{3x-2}{3x+2}\right)^2}.$

4. 代入$x=0$求值

   • 计算分母：$(3 \cdot 0 + 2)^2 = 2^2 = 4$，故$\dfrac{12}{4} = 3$。
   • 计算内层函数值：$\dfrac{3 \cdot 0 - 2}{3 \cdot 0 + 2} = -1$，平方后为$1$，故$\arctan{1} = \dfrac{\pi}{4}$。
   • 最终结果：$3 \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$。