题目
11.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0、1、2只残次品的概率分别为0.8、0.1和0.095。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随机地察看四只，若无残次品．则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率p； (2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率q。
11.
玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0、1、2只残次品的概率分别为0.8、0.1和0.095。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随机地察看四只，若无残次品．则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：
(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率p；
(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率q。
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本题解析：
解析
步骤 1：定义事件
设事件A0表示箱中含0只残次品，事件A1表示箱中含1只残次品，事件A2表示箱中含2只残次品。设事件B表示顾客查看的四只玻璃杯没有残次品。
步骤 2：计算条件概率
根据题意，$P(A_0) = 0.8$，$P(A_1) = 0.1$，$P(A_2) = 0.095$。顾客查看的四只玻璃杯没有残次品的概率为：
$P(B|A_0) = 1$，因为箱中没有残次品。
$P(B|A_1) = \frac{C_{19}^{4}}{C_{20}^{4}}$，因为箱中含1只残次品，顾客查看的四只玻璃杯没有残次品的概率为从19只好玻璃杯中选4只的概率。
$P(B|A_2) = \frac{C_{18}^{4}}{C_{20}^{4}}$，因为箱中含2只残次品，顾客查看的四只玻璃杯没有残次品的概率为从18只好玻璃杯中选4只的概率。
步骤 3：计算顾客买下该箱玻璃杯的概率
根据全概率公式，顾客买下该箱玻璃杯的概率为：
$P(B) = P(A_0)P(B|A_0) + P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2)$
$= 0.8 \times 1 + 0.1 \times \frac{C_{19}^{4}}{C_{20}^{4}} + 0.095 \times \frac{C_{18}^{4}}{C_{20}^{4}}$
$= 0.8 + 0.1 \times \frac{19 \times 18 \times 17 \times 16}{20 \times 19 \times 18 \times 17} + 0.095 \times \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15}{20 \times 19 \times 18 \times 17}$
$= 0.8 + 0.1 \times \frac{16}{20} + 0.095 \times \frac{15}{19}$
$= 0.8 + 0.08 + 0.075$
$= 0.955$
步骤 4：计算在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率
根据贝叶斯公式，顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率为：
$P(A_0|B) = \frac{P(A_0)P(B|A_0)}{P(B)}$
$= \frac{0.8 \times 1}{0.955}$
$= \frac{0.8}{0.955}$
$= 0.8377$
设事件A0表示箱中含0只残次品，事件A1表示箱中含1只残次品，事件A2表示箱中含2只残次品。设事件B表示顾客查看的四只玻璃杯没有残次品。
步骤 2：计算条件概率
根据题意，$P(A_0) = 0.8$，$P(A_1) = 0.1$，$P(A_2) = 0.095$。顾客查看的四只玻璃杯没有残次品的概率为：
$P(B|A_0) = 1$，因为箱中没有残次品。
$P(B|A_1) = \frac{C_{19}^{4}}{C_{20}^{4}}$，因为箱中含1只残次品，顾客查看的四只玻璃杯没有残次品的概率为从19只好玻璃杯中选4只的概率。
$P(B|A_2) = \frac{C_{18}^{4}}{C_{20}^{4}}$，因为箱中含2只残次品，顾客查看的四只玻璃杯没有残次品的概率为从18只好玻璃杯中选4只的概率。
步骤 3：计算顾客买下该箱玻璃杯的概率
根据全概率公式，顾客买下该箱玻璃杯的概率为：
$P(B) = P(A_0)P(B|A_0) + P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2)$
$= 0.8 \times 1 + 0.1 \times \frac{C_{19}^{4}}{C_{20}^{4}} + 0.095 \times \frac{C_{18}^{4}}{C_{20}^{4}}$
$= 0.8 + 0.1 \times \frac{19 \times 18 \times 17 \times 16}{20 \times 19 \times 18 \times 17} + 0.095 \times \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15}{20 \times 19 \times 18 \times 17}$
$= 0.8 + 0.1 \times \frac{16}{20} + 0.095 \times \frac{15}{19}$
$= 0.8 + 0.08 + 0.075$
$= 0.955$
步骤 4：计算在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率
根据贝叶斯公式，顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率为：
$P(A_0|B) = \frac{P(A_0)P(B|A_0)}{P(B)}$
$= \frac{0.8 \times 1}{0.955}$
$= \frac{0.8}{0.955}$
$= 0.8377$