题目
9.函数f(x)=sin(2x+(pi)/(4))的麦克劳林展开式为____.
9.函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{4})$的麦克劳林展开式为____.
题目解答
答案
利用已知的 $\sin t$ 的麦克劳林展开式：
\[
\sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots
\]
令 $ t = 2x + \frac{\pi}{4} $，得：
\[
\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)^3}{3!} + \frac{\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)^5}{5!} - \cdots
\]
或者，使用三角恒等式：
\[
\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin 2x + \cos 2x)
\]
分别展开 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$：
\[
\sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \cdots, \quad \cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \cdots
\]
代入得：
\[
\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}x - \sqrt{2}x^2 - \frac{2\sqrt{2}}{3}x^3 + \cdots
\]
**答案：**
\[
\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}x - \sqrt{2}x^2 - \frac{2\sqrt{2}}{3}x^3 + \cdots}
\]
解析
步骤 1：使用已知的 $\sin t$ 的麦克劳林展开式
已知 $\sin t$ 的麦克劳林展开式为： \[ \sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots \]
步骤 2：代入 $t = 2x + \frac{\pi}{4}$
将 $t = 2x + \frac{\pi}{4}$ 代入上述展开式，得到： \[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)^3}{3!} + \frac{\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)^5}{5!} - \cdots \]
步骤 3：使用三角恒等式
使用三角恒等式： \[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin 2x + \cos 2x) \]
步骤 4：分别展开 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$
分别展开 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$： \[ \sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \cdots, \quad \cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \cdots \]
步骤 5：代入并简化
代入并简化得： \[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}x - \sqrt{2}x^2 - \frac{2\sqrt{2}}{3}x^3 + \cdots \]
已知 $\sin t$ 的麦克劳林展开式为： \[ \sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots \]
步骤 2：代入 $t = 2x + \frac{\pi}{4}$
将 $t = 2x + \frac{\pi}{4}$ 代入上述展开式，得到： \[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)^3}{3!} + \frac{\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)^5}{5!} - \cdots \]
步骤 3：使用三角恒等式
使用三角恒等式： \[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin 2x + \cos 2x) \]
步骤 4：分别展开 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$
分别展开 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$： \[ \sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \cdots, \quad \cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \cdots \]
步骤 5：代入并简化
代入并简化得： \[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}x - \sqrt{2}x^2 - \frac{2\sqrt{2}}{3}x^3 + \cdots \]