题目
(1999年试题,二)“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,恒有|xn一a|≤2ε”是数列(xn)收敛于a的( ).A. 充分条件但非必要条件B. 必要条件但非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分条件又非必要条件
(1999年试题,二)“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,恒有|xn一a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( ).
A. 充分条件但非必要条件
B. 必要条件但非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分条件又非必要条件
题目解答
答案
C. 充分必要条件
解析
步骤 1：理解数列收敛的定义
数列{xn}收敛于a的定义是：对于任意给定的ε>0，总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|<ε。这表示数列{xn}的项与a的差的绝对值可以任意小。
步骤 2：分析给定条件
给定条件是：对于任意给定的ε∈(0,1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|≤2ε。这表示数列{xn}的项与a的差的绝对值可以任意小，但这里的ε被放大了两倍。
步骤 3：判断给定条件与数列收敛定义的关系
给定条件中的2ε虽然比ε大，但仍然可以任意小。因此，给定条件实际上满足了数列收敛的定义。也就是说，给定条件是数列{xn}收敛于a的充分必要条件。
数列{xn}收敛于a的定义是：对于任意给定的ε>0，总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|<ε。这表示数列{xn}的项与a的差的绝对值可以任意小。
步骤 2：分析给定条件
给定条件是：对于任意给定的ε∈(0,1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|≤2ε。这表示数列{xn}的项与a的差的绝对值可以任意小，但这里的ε被放大了两倍。
步骤 3：判断给定条件与数列收敛定义的关系
给定条件中的2ε虽然比ε大，但仍然可以任意小。因此，给定条件实际上满足了数列收敛的定义。也就是说，给定条件是数列{xn}收敛于a的充分必要条件。