题目
[题目]-|||-_(1)=iint ((x+y))^3dxdy,(I)_(2)=iint ((x+y))^2dxdy, 其中 :((x-2))^2+((y-1))^2leqslant 2, 则I1、I2的大-|||-小关系为 () .-|||-(A) _(1)=(I)_(2) (B) _(1)gt (I)_(2) (C) _(1)lt (I)_(2) (D)无法判断
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域 $D$ 是一个圆，其圆心在 $(2,1)$，半径为 $\sqrt{2}$。这意味着 $D$ 包含所有满足 $(x-2)^2 + (y-1)^2 \leq 2$ 的点 $(x,y)$。
步骤 2：分析被积函数
${I}_{1}=\iint {(x+y)}^{3}dxdy$ 和 ${I}_{2}=\iint {(x+y)}^{2}dxdy$ 中的被积函数分别是 $(x+y)^3$ 和 $(x+y)^2$。由于 $(x+y)^3$ 和 $(x+y)^2$ 都是非负的，因此积分值的大小取决于被积函数的大小。
步骤 3：比较被积函数
对于任意的 $(x,y)$，$(x+y)^3$ 总是大于等于 $(x+y)^2$，因为 $(x+y)^3 = (x+y)^2 \cdot (x+y)$，而 $(x+y)$ 在积分区域 $D$ 内是非负的。因此，$(x+y)^3$ 的积分值大于等于 $(x+y)^2$ 的积分值。
步骤 4：确定积分值的大小关系
由于 $(x+y)^3$ 总是大于等于 $(x+y)^2$，且积分区域 $D$ 是一个非空区域，因此 ${I}_{1}=\iint {(x+y)}^{3}dxdy$ 大于 ${I}_{2}=\iint {(x+y)}^{2}dxdy$。
积分区域 $D$ 是一个圆，其圆心在 $(2,1)$，半径为 $\sqrt{2}$。这意味着 $D$ 包含所有满足 $(x-2)^2 + (y-1)^2 \leq 2$ 的点 $(x,y)$。
步骤 2：分析被积函数
${I}_{1}=\iint {(x+y)}^{3}dxdy$ 和 ${I}_{2}=\iint {(x+y)}^{2}dxdy$ 中的被积函数分别是 $(x+y)^3$ 和 $(x+y)^2$。由于 $(x+y)^3$ 和 $(x+y)^2$ 都是非负的，因此积分值的大小取决于被积函数的大小。
步骤 3：比较被积函数
对于任意的 $(x,y)$，$(x+y)^3$ 总是大于等于 $(x+y)^2$，因为 $(x+y)^3 = (x+y)^2 \cdot (x+y)$，而 $(x+y)$ 在积分区域 $D$ 内是非负的。因此，$(x+y)^3$ 的积分值大于等于 $(x+y)^2$ 的积分值。
步骤 4：确定积分值的大小关系
由于 $(x+y)^3$ 总是大于等于 $(x+y)^2$，且积分区域 $D$ 是一个非空区域，因此 ${I}_{1}=\iint {(x+y)}^{3}dxdy$ 大于 ${I}_{2}=\iint {(x+y)}^{2}dxdy$。