题目
设 =ln (1+(sin )^2x), 求dy.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数形式
给定函数 $y=\ln (1+{\sin }^{2}x)$，这是一个复合函数，其中 $y$ 是关于 $t=1+{\sin }^{2}x$ 的函数，而 $t$ 又是关于 $x$ 的函数。
步骤 2：求导
根据链式法则，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。即 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt} \cdot \dfrac{dt}{dx}$。
- 首先，求 $y$ 对 $t$ 的导数：$\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{1+{\sin }^{2}x}$。
- 然后，求 $t$ 对 $x$ 的导数：$\dfrac{dt}{dx} = 2\sin x \cos x = \sin 2x$。
步骤 3：计算微分
将 $\dfrac{dy}{dt}$ 和 $\dfrac{dt}{dx}$ 的结果代入链式法则中，得到 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1+{\sin }^{2}x} \cdot \sin 2x$。因此，$dy = \dfrac{\sin 2x}{1+{\sin }^{2}x}dx$。
给定函数 $y=\ln (1+{\sin }^{2}x)$，这是一个复合函数，其中 $y$ 是关于 $t=1+{\sin }^{2}x$ 的函数，而 $t$ 又是关于 $x$ 的函数。
步骤 2：求导
根据链式法则，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。即 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt} \cdot \dfrac{dt}{dx}$。
- 首先，求 $y$ 对 $t$ 的导数：$\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{1+{\sin }^{2}x}$。
- 然后，求 $t$ 对 $x$ 的导数：$\dfrac{dt}{dx} = 2\sin x \cos x = \sin 2x$。
步骤 3：计算微分
将 $\dfrac{dy}{dt}$ 和 $\dfrac{dt}{dx}$ 的结果代入链式法则中，得到 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1+{\sin }^{2}x} \cdot \sin 2x$。因此，$dy = \dfrac{\sin 2x}{1+{\sin }^{2}x}dx$。