求int xcos (2x-3)dx.

步骤 1：确定分部积分法的u和dv
根据分部积分法的公式$\int udv=uv-\int vdu$，我们选择$u=x$和$dv=\cos(2x-3)dx$。这样，$du=dx$，而$v$是$dv$的积分，即$v=\int \cos(2x-3)dx$。

步骤 2：计算v
为了计算$v$，我们需要求$\int \cos(2x-3)dx$。使用换元法，设$w=2x-3$，则$dw=2dx$，因此$dx=\frac{1}{2}dw$。所以，$\int \cos(2x-3)dx=\frac{1}{2}\int \cos(w)dw=\frac{1}{2}\sin(w)+C=\frac{1}{2}\sin(2x-3)+C$。因此，$v=\frac{1}{2}\sin(2x-3)$。

步骤 3：应用分部积分法
现在我们有了$u=x$，$du=dx$，$v=\frac{1}{2}\sin(2x-3)$，$dv=\cos(2x-3)dx$。根据分部积分法，$\int x\cos(2x-3)dx=x\cdot\frac{1}{2}\sin(2x-3)-\int \frac{1}{2}\sin(2x-3)dx$。

步骤 4：计算剩余的积分
剩余的积分是$\int \frac{1}{2}\sin(2x-3)dx$。再次使用换元法，设$w=2x-3$，则$dw=2dx$，因此$dx=\frac{1}{2}dw$。所以，$\int \frac{1}{2}\sin(2x-3)dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{2}\sin(w)dw=-\frac{1}{4}\cos(w)+C=-\frac{1}{4}\cos(2x-3)+C$。

步骤 5：组合结果
将步骤3和步骤4的结果组合起来，我们得到$\int x\cos(2x-3)dx=\frac{1}{2}x\sin(2x-3)+\frac{1}{4}\cos(2x-3)+C$。