题目
函数 (x)=lim _(tarrow 0)((1+dfrac {sin t)(x))}^dfrac ({x)(t)} 在 (-infty ,+infty ) 内 ()-|||-(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算、函数的连续性及间断点类型的判断。
解题思路：
- 分析函数定义：函数$f(x)$是关于变量$t$的极限，需明确极限变量与函数变量$x$的关系。
- 化简极限表达式：利用$\lim_{t \to 0} (1 + \frac{t}{x})^{\frac{x^2}{2}}$的变形，结合自然指数的极限形式。
- 判断间断点类型：确定$x=0$处是否存在定义及极限值，进而判断间断点类型。
关键点：
- 极限变量为$t$，$x$为参数，需正确处理变量关系。
- 自然指数极限公式的应用：$\lim_{t \to 0} (1 + kt)^{\frac{1}{t}} = e^k$。
- 可去间断点的判定条件：函数在某点无定义，但极限存在。
函数化简：
原函数为$f(x) = \lim_{t \to 0} \left(1 + \frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x^2}{2}}$。
- 近似替换：当$t \to 0$时，$\sin t \approx t$，故$\frac{\sin t}{x} \approx \frac{t}{x}$。
- 变形极限表达式：
$\lim_{t \to 0} \left(1 + \frac{t}{x}\right)^{\frac{x^2}{2}} = \lim_{t \to 0} \left[\left(1 + \frac{t}{x}\right)^{\frac{x}{t}}\right]^{\frac{t x}{2}}.$ - 应用自然指数公式：
$\lim_{t \to 0} \left(1 + \frac{t}{x}\right)^{\frac{x}{t}} = e^{1}$，因此原式化简为：
$\left(e\right)^{\frac{t x}{2}} \Bigg|_{t \to 0} = e^{0} = 1 \quad (x \neq 0).$
故$f(x) = 1$（$x \neq 0$）。
间断点分析：
- 定义域：$x = 0$时，分母为0，函数无定义。
- 极限计算：$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} 1 = 1$。
- 结论：$x=0$处无定义但极限存在，为可去间断点。