题目
函数 (x)=lim _(tarrow 0)((1+dfrac {sin t)(x))}^dfrac ({x)(t)} 在 (-infty ,+infty ) 内 ()-|||-(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数的定义
函数 $f(x)=\lim _{t\rightarrow 0}{(1+\dfrac {\sin t}{x})}^{\dfrac {{x}^{2}}{2}}$，首先需要分析函数的定义域。由于 $\sin t$ 在 $t\rightarrow 0$ 时是连续的，且 $\sin t$ 的值域为 $[-1,1]$，因此 $\dfrac {\sin t}{x}$ 在 $x\neq 0$ 时是有意义的。当 $x=0$ 时，函数没有定义，因为分母为零。
步骤 2：计算极限
计算极限 $\lim _{t\rightarrow 0}{(1+\dfrac {\sin t}{x})}^{\dfrac {{x}^{2}}{2}}$。由于 $\sin t$ 在 $t\rightarrow 0$ 时近似为 $t$，因此可以将 $\sin t$ 替换为 $t$，得到 $\lim _{t\rightarrow 0}{(1+\dfrac {t}{x})}^{\dfrac {{x}^{2}}{2}}$。利用极限的性质，可以将该极限转换为 $e$ 的幂次形式，即 $\lim _{t\rightarrow 0}{(1+\dfrac {t}{x})}^{\dfrac {{x}^{2}}{2}} = e^{\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}}{2}\cdot \dfrac {t}{x}} = e^{\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {xt}{2}} = e^{0} = 1$。因此，当 $x\neq 0$ 时，$f(x) = 1$。
步骤 3：分析间断点
由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 时没有定义，因此 $x=0$ 是 $f(x)$ 的间断点。为了确定间断点的类型，需要计算 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$。根据步骤 2 的结果，$\lim _{x\rightarrow 0}f(x) = 1$。因此，$x=0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点。
函数 $f(x)=\lim _{t\rightarrow 0}{(1+\dfrac {\sin t}{x})}^{\dfrac {{x}^{2}}{2}}$，首先需要分析函数的定义域。由于 $\sin t$ 在 $t\rightarrow 0$ 时是连续的，且 $\sin t$ 的值域为 $[-1,1]$，因此 $\dfrac {\sin t}{x}$ 在 $x\neq 0$ 时是有意义的。当 $x=0$ 时，函数没有定义，因为分母为零。
步骤 2：计算极限
计算极限 $\lim _{t\rightarrow 0}{(1+\dfrac {\sin t}{x})}^{\dfrac {{x}^{2}}{2}}$。由于 $\sin t$ 在 $t\rightarrow 0$ 时近似为 $t$，因此可以将 $\sin t$ 替换为 $t$，得到 $\lim _{t\rightarrow 0}{(1+\dfrac {t}{x})}^{\dfrac {{x}^{2}}{2}}$。利用极限的性质，可以将该极限转换为 $e$ 的幂次形式，即 $\lim _{t\rightarrow 0}{(1+\dfrac {t}{x})}^{\dfrac {{x}^{2}}{2}} = e^{\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}}{2}\cdot \dfrac {t}{x}} = e^{\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {xt}{2}} = e^{0} = 1$。因此，当 $x\neq 0$ 时，$f(x) = 1$。
步骤 3：分析间断点
由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 时没有定义，因此 $x=0$ 是 $f(x)$ 的间断点。为了确定间断点的类型，需要计算 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$。根据步骤 2 的结果，$\lim _{x\rightarrow 0}f(x) = 1$。因此，$x=0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点。