求椭球面dfrac ({x)^2}(2)+dfrac ({y)^2}(3)+dfrac ({z)^2}(4)=1上点dfrac ({x)^2}(2)+dfrac ({y)^2}(3)+dfrac ({z)^2}(4)=1处的切平面和法线方程。

步骤 1：定义函数
定义函数$F(x,y,z)=\dfrac {{x}^{2}}{2}+\dfrac {{y}^{2}}{3}+\dfrac {{z}^{2}}{4}-1$，该函数表示椭球面的方程。
步骤 2：计算梯度
计算函数$F(x,y,z)$的梯度$\nabla F(x,y,z)=(F'{x}_{1},F'{y}_{2},F'{z}_{3})=(x,\dfrac {2y}{3},\dfrac {z}{2})$，该梯度表示椭球面上任意一点的法向量。
步骤 3：计算法向量
将点$(1,1,\dfrac {\sqrt {6}}{3})$代入梯度$\nabla F(x,y,z)$，得到法向量$\nabla F(1,1,\dfrac {\sqrt {6}}{3})=(1,\dfrac {2}{3},\dfrac {\sqrt {6}}{6})$。
步骤 4：计算切平面方程
利用法向量$\nabla F(1,1,\dfrac {\sqrt {6}}{3})=(1,\dfrac {2}{3},\dfrac {\sqrt {6}}{6})$和点$(1,1,\dfrac {\sqrt {6}}{3})$，计算切平面方程$(x-1)+\dfrac {2}{3}(y-1)+\dfrac {\sqrt {6}}{6}(z-\dfrac {\sqrt {6}}{3})=0$，即$x+\dfrac {2}{3}y+\dfrac {\sqrt {6}}{6}z-2=0$。
步骤 5：计算法线方程
利用法向量$\nabla F(1,1,\dfrac {\sqrt {6}}{3})=(1,\dfrac {2}{3},\dfrac {\sqrt {6}}{6})$和点$(1,1,\dfrac {\sqrt {6}}{3})$，计算法线方程$\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y-1}{\dfrac {2}{3}}=\dfrac {z-\dfrac {\sqrt {6}}{3}}{\dfrac {\sqrt {6}}{6}}$。