求 int (sin )^4xdx

考查要点：本题主要考查高次三角函数的积分方法，特别是利用降幂公式和二倍角公式将高次幂转化为低次幂，进而逐项积分的能力。

解题核心思路：

1. 降幂展开：将$\sin^4 x$通过平方恒等式转化为$\sin^2 x$的表达式，再进一步用二倍角公式降幂。
2. 分项积分：将展开后的多项式拆分为常数项、$\cos 2x$和$\cos^2 2x$的组合，对每一项分别积分。
3. 递归降幂：对$\cos^2 2x$再次应用二倍角公式降幂，最终得到可直接积分的形式。

破题关键点：

• 正确应用恒等式：$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，并注意平方展开时的符号和系数。
• 分步化简：逐层处理高次项，避免一次性展开导致复杂度过高。
• 积分技巧：对$\cos kx$型函数积分时，注意系数$\frac{1}{k}$的处理。

步骤1：降幂展开$\sin^4 x$
利用$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，得：
$\sin^4 x = \left( \sin^2 x \right)^2 = \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)^2 = \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}.$

步骤2：处理$\cos^2 2x$项
对$\cos^2 2x$再次应用二倍角公式$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$，得：
$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}.$

步骤3：整体展开并整理
将$\cos^2 2x$代入原式并展开：
$\sin^4 x = \frac{1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{3}{8} - \frac{1}{4}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x.$

步骤4：逐项积分
对展开后的多项式逐项积分：
$\begin{aligned}\int \sin^4 x \, dx &= \int \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{4}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x \right) dx \\&= \frac{3}{8}x - \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin 2x}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{\sin 4x}{4} + C \\&= \frac{3}{8}x - \frac{1}{8}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + C.\end{aligned}$