题目
讨论函数(x)=lim _(narrow infty )dfrac (1-{x)^2n}(1+{x)^2n}x的连续性，若有间断点，判别其类型 .
讨论函数
的连续性，若有间断点，判别其类型 .
题目解答
答案
对于函数
其分母不能为零
则
是函数的间断点
则的两侧极限都存在但不相等
即是函数的跳跃间断点
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数$f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}x$的定义域为所有实数，除了使分母为零的$x$值。由于$1+{x}^{2n}$在所有实数$x$上都大于零，因此函数的定义域为所有实数。
步骤 2：分析函数的极限
当$x$的绝对值小于1时，${x}^{2n}$趋向于0，因此函数$f(x)$趋向于$x$。
当$x$的绝对值大于1时，${x}^{2n}$趋向于无穷大，因此函数$f(x)$趋向于$-x$。
当$x$的绝对值等于1时，${x}^{2n}$趋向于1，因此函数$f(x)$趋向于0。
步骤 3：确定间断点
函数$f(x)$在$x=1$和$x=-1$处的极限值不等于函数值，因此$x=1$和$x=-1$是函数的间断点。
步骤 4：判断间断点的类型
对于$x=1$，$\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)=-1$，$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)=1$，因此$x=1$是跳跃间断点。
对于$x=-1$，$\lim _{x\rightarrow -{1}^{+}}f(x)=-1$，$\lim _{x\rightarrow -{1}^{-}}f(x)=1$，因此$x=-1$是跳跃间断点。
函数$f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}x$的定义域为所有实数，除了使分母为零的$x$值。由于$1+{x}^{2n}$在所有实数$x$上都大于零，因此函数的定义域为所有实数。
步骤 2：分析函数的极限
当$x$的绝对值小于1时，${x}^{2n}$趋向于0，因此函数$f(x)$趋向于$x$。
当$x$的绝对值大于1时，${x}^{2n}$趋向于无穷大，因此函数$f(x)$趋向于$-x$。
当$x$的绝对值等于1时，${x}^{2n}$趋向于1，因此函数$f(x)$趋向于0。
步骤 3：确定间断点
函数$f(x)$在$x=1$和$x=-1$处的极限值不等于函数值，因此$x=1$和$x=-1$是函数的间断点。
步骤 4：判断间断点的类型
对于$x=1$，$\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)=-1$，$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)=1$，因此$x=1$是跳跃间断点。
对于$x=-1$，$\lim _{x\rightarrow -{1}^{+}}f(x)=-1$，$\lim _{x\rightarrow -{1}^{-}}f(x)=1$，因此$x=-1$是跳跃间断点。