题目
对任意三 事件 A ，B ，C，试证：(AB)+P(AC)-P(BC)leqslant P(A)
对任意三 事件 A ，B ，C，试证：
题目解答
答案
证明：由概率的性质可知
又∵
故
得证
解析
步骤 1：利用概率的性质
根据概率的性质，对于任意事件A，有$P(A) \geq P(A(B \cup C))$。这是因为$A(B \cup C)$是A的一个子集，所以A发生的概率至少不小于$A(B \cup C)$发生的概率。
步骤 2：将$A(B \cup C)$展开
$A(B \cup C)$可以表示为$AB \cup AC$，因此$P(A(B \cup C)) = P(AB \cup AC)$。根据概率的加法原理，$P(AB \cup AC) = P(AB) + P(AC) - P(AB \cap AC)$。由于$AB \cap AC = ABC$，所以$P(AB \cup AC) = P(AB) + P(AC) - P(ABC)$。
步骤 3：比较$P(BC)$和$P(ABC)$
由于$ABC$是$BC$的一个子集，所以$P(BC) \geq P(ABC)$。因此，$-P(BC) \leq -P(ABC)$。
步骤 4：将步骤2和步骤3的结果结合
将步骤2和步骤3的结果结合，得到$P(A) \geq P(AB) + P(AC) - P(ABC) \geq P(AB) + P(AC) - P(BC)$。因此，$P(AB) + P(AC) - P(BC) \leq P(A)$。
根据概率的性质，对于任意事件A，有$P(A) \geq P(A(B \cup C))$。这是因为$A(B \cup C)$是A的一个子集，所以A发生的概率至少不小于$A(B \cup C)$发生的概率。
步骤 2：将$A(B \cup C)$展开
$A(B \cup C)$可以表示为$AB \cup AC$，因此$P(A(B \cup C)) = P(AB \cup AC)$。根据概率的加法原理，$P(AB \cup AC) = P(AB) + P(AC) - P(AB \cap AC)$。由于$AB \cap AC = ABC$，所以$P(AB \cup AC) = P(AB) + P(AC) - P(ABC)$。
步骤 3：比较$P(BC)$和$P(ABC)$
由于$ABC$是$BC$的一个子集，所以$P(BC) \geq P(ABC)$。因此，$-P(BC) \leq -P(ABC)$。
步骤 4：将步骤2和步骤3的结果结合
将步骤2和步骤3的结果结合，得到$P(A) \geq P(AB) + P(AC) - P(ABC) \geq P(AB) + P(AC) - P(BC)$。因此，$P(AB) + P(AC) - P(BC) \leq P(A)$。