对任意三 事件 A ，B ，C，试证：(AB)+P(AC)-P(BC)leqslant P(A)

考查要点：本题主要考查概率的基本性质，特别是事件的包含关系、加法公式以及概率的可加性。需要学生理解如何通过事件的分解和不等式推导来证明概率不等式。

解题核心思路：

1. 事件分解：将复杂事件分解为更简单的事件组合，利用加法公式展开。
2. 概率的单调性：若事件$D \subseteq E$，则$P(D) \leq P(E)$。
3. 不等式替换：通过已知的不等关系，逐步逼近目标表达式。

破题关键点：

• 从$P(A)$出发，构造与$P(AB) + P(AC) - P(BC)$相关的事件关系。
• 利用$A(B \cup C) \subseteq A$，结合加法公式展开并简化表达式。
• 通过$P(ABC) \leq P(BC)$进行替换，最终建立不等式。

步骤1：构造事件关系
由事件包含关系，$A(B \cup C) \subseteq A$，根据概率的单调性，得：
$P(A) \geq P(A(B \cup C))$

步骤2：展开并集概率
将$A(B \cup C)$分解为$AB \cup AC$，应用加法公式：
$\begin{aligned}P(AB \cup AC) &= P(AB) + P(AC) - P(AB \cap AC) \\&= P(AB) + P(AC) - P(ABC)\end{aligned}$

步骤3：替换关键项
注意到$ABC \subseteq BC$，根据单调性，$P(ABC) \leq P(BC)$，即：
$-P(ABC) \geq -P(BC)$

步骤4：联立不等式
将步骤2和步骤3代入步骤1，得：
$\begin{aligned}P(A) &\geq P(AB) + P(AC) - P(ABC) \\&\geq P(AB) + P(AC) - P(BC)\end{aligned}$