题目
设f(x)=arctan x，g(x)=sin (2x+pi )/(3)，则g[f(-1)]= .
设$f\left(x\right)=arc\tan x$，$g\left(x\right)=\sin \frac{2x+\pi }{3}$，则$g\left[f\left(-1\right)\right]=$ .
题目解答
答案
【解析】
当$x=-1$时，$f\left(-1\right)=arc\tan \left(-1\right)=-\frac{\pi }{4}$
将$f\left(-1\right)=-\frac{\pi }{4}$代入$g\left[f\left(-1\right)\right]$得：
$g\left[f\left(-1\right)\right]=\sin \left[\frac{2\times \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)+\mathrm{\pi }}{3}\right]=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=\frac{1}{2}$.
【答案】
$\frac{1}{2}$
解析
步骤 1：计算$f\left(-1\right)$
$f\left(x\right)=arc\tan x$，代入$x=-1$，得到$f\left(-1\right)=arc\tan \left(-1\right)$。由于$arc\tan \left(-1\right)=-\frac{\pi }{4}$，因此$f\left(-1\right)=-\frac{\pi }{4}$。
步骤 2：计算$g\left[f\left(-1\right)\right]$
将$f\left(-1\right)=-\frac{\pi }{4}$代入$g\left(x\right)=\sin \frac{2x+\pi }{3}$，得到$g\left[f\left(-1\right)\right]=\sin \frac{2\times \left(-\frac{\pi }{4}\right)+\pi }{3}$。化简得到$g\left[f\left(-1\right)\right]=\sin \frac{-\frac{\pi }{2}+\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{6}$。
步骤 3：计算$\sin \frac{\pi }{6}$
$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$。
$f\left(x\right)=arc\tan x$，代入$x=-1$，得到$f\left(-1\right)=arc\tan \left(-1\right)$。由于$arc\tan \left(-1\right)=-\frac{\pi }{4}$，因此$f\left(-1\right)=-\frac{\pi }{4}$。
步骤 2：计算$g\left[f\left(-1\right)\right]$
将$f\left(-1\right)=-\frac{\pi }{4}$代入$g\left(x\right)=\sin \frac{2x+\pi }{3}$，得到$g\left[f\left(-1\right)\right]=\sin \frac{2\times \left(-\frac{\pi }{4}\right)+\pi }{3}$。化简得到$g\left[f\left(-1\right)\right]=\sin \frac{-\frac{\pi }{2}+\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{6}$。
步骤 3：计算$\sin \frac{\pi }{6}$
$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$。