14.设C为不经过α与 -a 的正向简单闭曲线,α为不等于零的任何复-|||-数.试就α与 -a 跟C的各种不同位置,计算积分-|||-(int )_(c)^2dfrac (z)({z)^2-(a)^2}dz

考查要点：本题主要考查复变函数积分的计算，特别是利用柯西积分定理和部分分式分解来处理具有多个奇点的积分问题。

解题核心思路：

1. 分解被积函数：将分母因式分解为$(z-a)(z+a)$，并拆分为部分分式，简化积分形式。
2. 分析奇点位置：根据奇点$a$和$-a$是否在积分路径$C$内部，应用柯西积分公式计算各部分积分。
3. 分类讨论：根据$a$和$-a$的不同位置组合，确定积分结果。

破题关键点：

• 部分分式分解是简化积分的关键步骤，将原函数拆分为两个简单分式之和。
• 柯西积分公式直接关联奇点位置与积分值的关系，需明确奇点是否在积分路径内部。

将被积函数分解为部分分式：
$\frac{z}{z^2 - a^2} = \frac{1}{2(z - a)} + \frac{1}{2(z + a)}.$

根据柯西积分公式，积分结果由奇点$a$和$-a$是否在$C$内部决定：

1. 当$a$和$-a$均不在$C$内部：
   两个分式的积分均为$0$，总积分为$0$。
2. 当$a$或$-a$中仅有一个在$C$内部：
   对应分式的积分为$\pi i$，另一分式积分为$0$，总积分为$\pi i$。
3. 当$a$和$-a$均在$C$内部：
   两个分式的积分各为$\pi i$，总积分为$2\pi i$。