[题目]-|||-求曲线 ^dfrac (2{3)}+(y)^dfrac (2{3)}=(a)^dfrac (2{3)} 在点 (dfrac (sqrt {2)}(4)a,dfrac (sqrt {2)}(4)a) 处的切线方程和法-|||-线方程.

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，以及利用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程和法线方程。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：对曲线方程两边同时关于$x$求导，解出$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，即切线的斜率$k$。
2. 代入点坐标：将给定点的坐标代入导数表达式，计算出具体的斜率值。
3. 方程形式：利用点斜式方程分别写出切线方程和法线方程（法线斜率为切线斜率的负倒数）。

破题关键点：

• 正确求导：注意隐函数求导时，对$y$的导数需乘以$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。
• 代数化简：将导数表达式化简后代入点坐标，避免计算错误。

隐函数求导

对原方程$x^{\dfrac{2}{3}} + y^{\dfrac{2}{3}} = a^{\dfrac{2}{3}}$两边关于$x$求导：
$\frac{2}{3}x^{-\dfrac{1}{3}} + \frac{2}{3}y^{-\dfrac{1}{3}} \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$

解出$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

整理得：
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{x^{-\dfrac{1}{3}}}{y^{-\dfrac{1}{3}}} = -\frac{y^{\dfrac{1}{3}}}{x^{\dfrac{1}{3}}}$

代入点坐标

将点$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}a, \dfrac{\sqrt{2}}{4}a\right)$代入导数表达式：
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}a\right)^{\dfrac{1}{3}}}{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}a\right)^{\dfrac{1}{3}}} = -1$

切线方程

利用点斜式$y - y_0 = k(x - x_0)$，代入$k = -1$和点坐标：
$y - \dfrac{\sqrt{2}}{4}a = -1 \left(x - \dfrac{\sqrt{2}}{4}a\right)$
整理得：
$x + y = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a$

法线方程

法线斜率为$k_{\text{法}} = -\dfrac{1}{k} = 1$，代入点坐标：
$y - \dfrac{\sqrt{2}}{4}a = 1 \cdot \left(x - \dfrac{\sqrt{2}}{4}a\right)$
整理得：
$x - y = 0$