(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为f(x)=-|||- { , 0leqslant xleqslant 3 0, 当xlt 0或xgt .(1) 求常数A; (2) 求P(ξ<1); (3) 求ξ的数学期望.

步骤 1：求常数A
根据概率密度函数的性质，整个区间上的积分应等于1。因此，我们有：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1
$$
由于f(x)在x<0和x>3时为0，我们只需考虑0到3的积分：
$$
\int_{0}^{3} \frac{A}{1+x} \, dx = 1
$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，我们得到：
$$
A \int_{0}^{3} \frac{1}{1+x} \, dx = A \left[ \ln(1+x) \right]_{0}^{3} = A \left( \ln(4) - \ln(1) \right) = A \ln(4)
$$
因此，我们有：
$$
A \ln(4) = 1
$$
解得：
$$
A = \frac{1}{\ln(4)}
$$
步骤 3：求P(ξ<1)
根据概率密度函数，我们有：
$$
P(\xi < 1) = \int_{-\infty}^{1} f(x) \, dx
$$
由于f(x)在x<0时为0，我们只需考虑0到1的积分：
$$
P(\xi < 1) = \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln(4)(1+x)} \, dx = \frac{1}{\ln(4)} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \, dx = \frac{1}{\ln(4)} \left[ \ln(1+x) \right]_{0}^{1} = \frac{1}{\ln(4)} \ln(2) = \frac{1}{2}
$$
步骤 4：求ξ的数学期望
根据数学期望的定义，我们有：
$$
E(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
由于f(x)在x<0和x>3时为0，我们只需考虑0到3的积分：
$$
E(\xi) = \int_{0}^{3} x \frac{1}{\ln(4)(1+x)} \, dx
$$
计算上述积分，我们得到：
$$
E(\xi) = \frac{1}{\ln(4)} \int_{0}^{3} \frac{x}{1+x} \, dx = \frac{1}{\ln(4)} \int_{0}^{3} \left( 1 - \frac{1}{1+x} \right) \, dx = \frac{1}{\ln(4)} \left[ x - \ln(1+x) \right]_{0}^{3} = \frac{1}{\ln(4)} \left( 3 - \ln(4) \right) = \frac{3}{\ln(4)} - 1
$$