题目

(单选题,2分)已知随机变量X满足E(X)=1,D(X)=0.3,则由切比雪夫不等式有 P(|X-1|<1)geq(). A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7

(单选题,2分)已知随机变量X满足E(X)=1,D(X)=0.3,则由切比雪夫不等式有 $P(|X-1|<1)\geq()$.
A. 0.3
B. 0.4
C. 0.6
D. 0.7

题目解答

答案

根据切比雪夫不等式，对于随机变量 $X$，有 \[ P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}. \] 取 $\varepsilon = 1$，则 \[ P(|X - 1| \geq 1) \leq \frac{0.3}{1^2} = 0.3. \] 因此， \[ P(|X - 1| < 1) = 1 - P(|X - 1| \geq 1) \geq 1 - 0.3 = 0.7. \] 答案：$\boxed{D}$

解析

切比雪夫不等式是概率论中用于估计随机变量偏离期望值的概率的重要工具。本题的关键在于：

  1. 理解不等式形式：切比雪夫不等式指出，对于任意$\varepsilon > 0$，有
    $P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}.$
  2. 灵活转换概率表达式：题目要求$P(|X-1|<1)$，需先计算其补集概率$P(|X-1|\geq1)$，再通过$1 - \text{补集概率}$得到下界。
  3. 代入已知条件：直接将$\varepsilon=1$、$D(X)=0.3$代入公式即可求解。

步骤1：应用切比雪夫不等式

根据切比雪夫不等式，取$\varepsilon=1$，则：
$P(|X - 1| \geq 1) \leq \frac{D(X)}{1^2} = \frac{0.3}{1} = 0.3.$

步骤2：计算原概率的下界

原概率$P(|X-1|<1)$的补集概率为$P(|X-1|\geq1)$，因此：
$P(|X-1|<1) = 1 - P(|X-1|\geq1) \geq 1 - 0.3 = 0.7.$