例8】(2022,数三)已知函数 (x)=(e)^sin x+(e)^-sin x, 则 ''(2pi )= __

考查要点：本题主要考查函数的二阶导数计算，涉及链式法则、乘积法则的应用，以及特殊角三角函数值的计算。

解题思路：

1. 求一阶导数：对函数$f(x)=e^{\sin x} + e^{-\sin x}$使用链式法则求导。
2. 求二阶导数：对一阶导数结果应用乘积法则，展开后化简。
3. 代入$x=2\pi$：利用$\sin 2\pi = 0$和$\cos 2\pi = 1$简化计算。

关键点：

• 链式法则处理复合函数$e^{\sin x}$和$e^{-\sin x}$。
• 乘积法则处理一阶导数中的乘积项。
• 特殊角三角函数值简化最终结果。

步骤1：求一阶导数$f'(x)$

函数$f(x)=e^{\sin x} + e^{-\sin x}$，对每一项分别求导：

• 对$e^{\sin x}$求导：$\cos x \cdot e^{\sin x}$（链式法则）。
• 对$e^{-\sin x}$求导：$-\cos x \cdot e^{-\sin x}$（链式法则）。

因此：
$f'(x) = \cos x \left( e^{\sin x} - e^{-\sin x} \right)$

步骤2：求二阶导数$f''(x)$

对$f'(x)=\cos x \cdot \left( e^{\sin x} - e^{-\sin x} \right)$应用乘积法则：
$f''(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) \cdot \left( e^{\sin x} - e^{-\sin x} \right) + \cos x \cdot \frac{d}{dx} \left( e^{\sin x} - e^{-\sin x} \right)$

逐项计算：

1. 第一项：$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$，因此第一项为：
   $-\sin x \cdot \left( e^{\sin x} - e^{-\sin x} \right)$

2. 第二项：对$\left( e^{\sin x} - e^{-\sin x} \right)$求导：
   $\cos x \cdot e^{\sin x} + \cos x \cdot e^{-\sin x} = \cos x \cdot \left( e^{\sin x} + e^{-\sin x} \right)$
   因此第二项为：
   $\cos x \cdot \cos x \cdot \left( e^{\sin x} + e^{-\sin x} \right) = \cos^2 x \cdot \left( e^{\sin x} + e^{-\sin x} \right)$

综上，二阶导数为：
$f''(x) = -\sin x \cdot \left( e^{\sin x} - e^{-\sin x} \right) + \cos^2 x \cdot \left( e^{\sin x} + e^{-\sin x} \right)$

步骤3：代入$x=2\pi$

利用$\sin 2\pi = 0$和$\cos 2\pi = 1$：

1. 第一项：$-\sin 2\pi \cdot \left( e^{\sin 2\pi} - e^{-\sin 2\pi} \right) = 0$。
2. 第二项：$\cos^2 2\pi \cdot \left( e^{\sin 2\pi} + e^{-\sin 2\pi} \right) = 1^2 \cdot (1 + 1) = 2$。

因此：
$f''(2\pi) = 0 + 2 = 2$