题目
为了保证安全生产，在矿井内同时安装了两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，A的有效率为0.90，B的有效率为0.95，在A失效情况下B仍有效的概率为0.80， 试求：(1) 这两种警报系统至少有一个有效的概率； (2)在B失效的情况下，A仍有效的概率。
为了保证安全生产，在矿井内同时安装了两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，A的有效率为0.90，B的有效率为0.95，在A失效情况下B仍有效的概率为0.80， 试求：
(1) 这两种警报系统至少有一个有效的概率；
(2)在B失效的情况下，A仍有效的概率。
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件
设事件A为报警系统A有效，事件B为报警系统B有效。根据题意，$P(A) = 0.90$，$P(B) = 0.95$，$P(B|\overline{A}) = 0.80$，其中$\overline{A}$表示A失效。
步骤 2：计算A失效时B有效的概率
根据条件概率公式，$P(B|\overline{A}) = \frac{P(B\overline{A})}{P(\overline{A})}$，其中$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.90 = 0.10$。因此，$P(B\overline{A}) = P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A}) = 0.80 \cdot 0.10 = 0.08$。
步骤 3：计算两种警报系统至少有一个有效的概率
两种警报系统至少有一个有效的概率为$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$。其中$P(AB)$为A和B同时有效的概率，$P(AB) = P(B) - P(B\overline{A}) = 0.95 - 0.08 = 0.87$。因此，$P(A \cup B) = 0.90 + 0.95 - 0.87 = 0.98$。
步骤 4：计算B失效时A有效的概率
B失效时A有效的概率为$P(A|\overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}$。其中$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.95 = 0.05$，$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) = 0.90 - 0.87 = 0.03$。因此，$P(A|\overline{B}) = \frac{0.03}{0.05} = 0.60$。
设事件A为报警系统A有效，事件B为报警系统B有效。根据题意，$P(A) = 0.90$，$P(B) = 0.95$，$P(B|\overline{A}) = 0.80$，其中$\overline{A}$表示A失效。
步骤 2：计算A失效时B有效的概率
根据条件概率公式，$P(B|\overline{A}) = \frac{P(B\overline{A})}{P(\overline{A})}$，其中$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.90 = 0.10$。因此，$P(B\overline{A}) = P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A}) = 0.80 \cdot 0.10 = 0.08$。
步骤 3：计算两种警报系统至少有一个有效的概率
两种警报系统至少有一个有效的概率为$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$。其中$P(AB)$为A和B同时有效的概率，$P(AB) = P(B) - P(B\overline{A}) = 0.95 - 0.08 = 0.87$。因此，$P(A \cup B) = 0.90 + 0.95 - 0.87 = 0.98$。
步骤 4：计算B失效时A有效的概率
B失效时A有效的概率为$P(A|\overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}$。其中$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.95 = 0.05$，$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) = 0.90 - 0.87 = 0.03$。因此，$P(A|\overline{B}) = \frac{0.03}{0.05} = 0.60$。