135 lim _(xarrow 0)dfrac (sin 6x-(sin x)f(x))({x)^3}=0 则 lim _(xarrow 0)dfrac (6-f(x))({x)^2}=-|||-(A)0. (B)35. (C)36. (D)∞,A、AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查泰勒展开的应用及极限的计算，需要根据给定条件确定函数$f(x)$的泰勒展开式，进而求解另一个极限。

解题核心思路：

1. 泰勒展开：将$\sin 6x$和$\sin x$展开到足够高的阶数，确保分子$\sin 6x - (\sin x)f(x)$的展开式中各阶项系数可求。
2. 系数匹配：根据题目条件$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x - (\sin x)f(x)}{x^3} = 0$，确定$f(x)$的泰勒展开式中的系数。
3. 代入求解：利用$f(x)$的展开式计算$\lim_{x \to 0} \frac{6 - f(x)}{x^2}$。

破题关键点：

• 泰勒展开的阶数：需展开到$x^3$项，确保分子中$x^3$项的系数为0。
• 函数$f(x)$的展开形式：假设$f(x) = a + bx + cx^2 + \dots$，通过系数匹配确定$a, b, c$的值。

1. 展开$\sin 6x$和$\sin x$

   • $\sin 6x = 6x - \frac{(6x)^3}{6} + o(x^3) = 6x - 36x^3 + o(x^3)$
   • $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

2. 假设$f(x)$的泰勒展开
   设$f(x) = a + bx + cx^2 + \dots$，代入分子$\sin 6x - (\sin x)f(x)$：
   $\begin{aligned} \sin 6x - (\sin x)f(x) &= \left(6x - 36x^3\right) - \left(x - \frac{x^3}{6}\right)\left(a + bx + cx^2\right) + o(x^3) \\ &= 6x - 36x^3 - \left(ax + bx^2 + \left(c - \frac{a}{6}\right)x^3\right) + o(x^3). \end{aligned}$

3. 匹配各阶项系数
   根据题目条件，分子中$x$、$x^2$、$x^3$项的系数必须为0：

   • $x$项：$6 - a = 0 \Rightarrow a = 6$
   • $x^2$项：$-b = 0 \Rightarrow b = 0$
   • $x^3$项：$-36 - \left(c - \frac{6}{6}\right) = 0 \Rightarrow -36 - c + 1 = 0 \Rightarrow c = -35$

   因此，$f(x) = 6 - 35x^2 + \dots$。

4. 计算目标极限
   $\lim_{x \to 0} \frac{6 - f(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - 35x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{35x^2}{x^2} = 35.$