题目

设=dfrac (y)(f({x)^2-(y)^2)},其中f为可导函数.验证=dfrac (y)(f({x)^2-(y)^2)}.

设,其中f为可导函数.验证.

题目解答

答案

首先，计算和。我们使用链式法则来求解它们。

对于，首先注意到z是y和的复合函数，因此我们应用链式法则得到：

由于y不显含x，因此。又因为f是的函数，所以。

因此，我们得到：

接下来，对于，注意到z是y和的复合函数，我们再次应用链式法则得到：

由于，而f是的函数，所以。

因此，我们得到：

现在，我们将和代入要验证的等式，得到：

化简上式，我们得到：

因此，我们验证了。

解析

步骤 1：计算$\dfrac {\partial z}{\partial x}$
首先，我们注意到$z$是$x$和$y$的函数，其中$f$是${x}^{2}-{y}^{2}$的函数。根据链式法则，我们有：
$\dfrac {\partial z}{\partial x}=\dfrac {\partial z}{\partial f}\cdot \dfrac {\partial f}{\partial x}$
由于$f$是${x}^{2}-{y}^{2}$的函数，所以$\dfrac {\partial f}{\partial x}=2x$。因此，我们得到：
$\dfrac {\partial z}{\partial x}=\dfrac {\partial z}{\partial f}\cdot 2x$
步骤 2：计算$\dfrac {\partial z}{\partial y}$
同样地，我们注意到$z$是$x$和$y$的函数，其中$f$是${x}^{2}-{y}^{2}$的函数。根据链式法则，我们有：
$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {\partial z}{\partial f}\cdot \dfrac {\partial f}{\partial y}$
由于$f$是${x}^{2}-{y}^{2}$的函数，所以$\dfrac {\partial f}{\partial y}=-2y$。因此，我们得到：
$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {\partial z}{\partial f}\cdot (-2y)$
步骤 3：验证等式
现在，我们将$\dfrac {\partial z}{\partial x}$和$\dfrac {\partial z}{\partial y}$代入要验证的等式$\dfrac {1}{x}\dfrac {\partial z}{\partial x}+\dfrac {1}{y}\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {z}{{y}^{2}}$，得到：
$\dfrac {1}{x}\cdot \dfrac {\partial z}{\partial f}\cdot 2x+\dfrac {1}{y}\cdot \dfrac {\partial z}{\partial f}\cdot (-2y)=\dfrac {z}{{y}^{2}}$
化简上式，我们得到：
$2\dfrac {\partial z}{\partial f}-2\dfrac {\partial z}{\partial f}=\dfrac {z}{{y}^{2}}$
因此，我们验证了$\dfrac {1}{x}\dfrac {\partial z}{\partial x}+\dfrac {1}{y}\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {z}{{y}^{2}}$。