题目
-------|||-3.证明下列数列极限存在并求其值:-|||-(1)设 _(1)=sqrt (2), _(n+1)=sqrt (2{a)_(n)} =1, 2 .....-|||-(2)设 _(1)=sqrt (c)(cgt 0), _(n+1)=sqrt (c+{a)_(n)} , n=1 数学!-|||-(3) _(n)=dfrac ({c)^n}(n!)(cgt 0) . n=1,2 .----
题目解答
答案
解析
(1) 设 ${a}_{1}=\sqrt {2}$, ${a}_{n+1}=\sqrt {2{a}_{n}}$ ,n=1 ,2,...
步骤 1：证明数列单调递增
首先，我们证明数列 ${a}_{n}$ 单调递增。我们使用数学归纳法。
基础情况：${a}_{1}=\sqrt{2}$, ${a}_{2}=\sqrt{2\sqrt{2}}$。显然，${a}_{2}>{a}_{1}$。
归纳假设：假设 ${a}_{k}>{a}_{k-1}$ 对于某个 $k$ 成立。
归纳步骤：证明 ${a}_{k+1}>{a}_{k}$。
${a}_{k+1}=\sqrt{2{a}_{k}}>\sqrt{2{a}_{k-1}}={a}_{k}$。
因此，数列 ${a}_{n}$ 单调递增。
步骤 2：证明数列有上界
我们证明数列 ${a}_{n}$ 有上界。我们猜测上界为2。
基础情况：${a}_{1}=\sqrt{2}<2$。
归纳假设：假设 ${a}_{k}<2$ 对于某个 $k$ 成立。
归纳步骤：证明 ${a}_{k+1}<2$。
${a}_{k+1}=\sqrt{2{a}_{k}}<\sqrt{2\cdot2}=2$。
因此，数列 ${a}_{n}$ 有上界2。
步骤 3：求极限
由于数列 ${a}_{n}$ 单调递增且有上界，根据单调有界原理，数列 ${a}_{n}$ 收敛。设其极限为 $L$，则有：
$L=\sqrt{2L}$。
解得 $L=2$。
(2) 设 ${a}_{1}=\sqrt {c}(c\gt 0)$ ,${a}_{n+1}=\sqrt {c+{a}_{n}}$ 。 n=1
步骤 1：证明数列单调递增
首先，我们证明数列 ${a}_{n}$ 单调递增。我们使用数学归纳法。
基础情况：${a}_{1}=\sqrt{c}$, ${a}_{2}=\sqrt{c+\sqrt{c}}$。显然，${a}_{2}>{a}_{1}$。
归纳假设：假设 ${a}_{k}>{a}_{k-1}$ 对于某个 $k$ 成立。
归纳步骤：证明 ${a}_{k+1}>{a}_{k}$。
${a}_{k+1}=\sqrt{c+{a}_{k}}>\sqrt{c+{a}_{k-1}}={a}_{k}$。
因此，数列 ${a}_{n}$ 单调递增。
步骤 2：证明数列有上界
我们证明数列 ${a}_{n}$ 有上界。我们猜测上界为 $\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$。
基础情况：${a}_{1}=\sqrt{c}<\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$。
归纳假设：假设 ${a}_{k}<\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$ 对于某个 $k$ 成立。
归纳步骤：证明 ${a}_{k+1}<\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$。
${a}_{k+1}=\sqrt{c+{a}_{k}}<\sqrt{c+\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}}=\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$。
因此，数列 ${a}_{n}$ 有上界 $\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$。
步骤 3：求极限
由于数列 ${a}_{n}$ 单调递增且有上界，根据单调有界原理，数列 ${a}_{n}$ 收敛。设其极限为 $L$，则有：
$L=\sqrt{c+L}$。
解得 $L=\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$。
(3) ${a}_{n}=\dfrac {{c}^{n}}{n!}(c\gt 0)$ n=1,2 ,...
步骤 1：证明数列极限为0
我们证明数列 ${a}_{n}$ 的极限为0。我们使用比值判别法。
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{c^{n+1}/(n+1)!}{c^n/n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{c}{n+1}=0$。
因此，数列 ${a}_{n}$ 的极限为0。
步骤 1：证明数列单调递增
首先，我们证明数列 ${a}_{n}$ 单调递增。我们使用数学归纳法。
基础情况：${a}_{1}=\sqrt{2}$, ${a}_{2}=\sqrt{2\sqrt{2}}$。显然，${a}_{2}>{a}_{1}$。
归纳假设：假设 ${a}_{k}>{a}_{k-1}$ 对于某个 $k$ 成立。
归纳步骤：证明 ${a}_{k+1}>{a}_{k}$。
${a}_{k+1}=\sqrt{2{a}_{k}}>\sqrt{2{a}_{k-1}}={a}_{k}$。
因此，数列 ${a}_{n}$ 单调递增。
步骤 2：证明数列有上界
我们证明数列 ${a}_{n}$ 有上界。我们猜测上界为2。
基础情况：${a}_{1}=\sqrt{2}<2$。
归纳假设：假设 ${a}_{k}<2$ 对于某个 $k$ 成立。
归纳步骤：证明 ${a}_{k+1}<2$。
${a}_{k+1}=\sqrt{2{a}_{k}}<\sqrt{2\cdot2}=2$。
因此，数列 ${a}_{n}$ 有上界2。
步骤 3：求极限
由于数列 ${a}_{n}$ 单调递增且有上界，根据单调有界原理，数列 ${a}_{n}$ 收敛。设其极限为 $L$，则有：
$L=\sqrt{2L}$。
解得 $L=2$。
(2) 设 ${a}_{1}=\sqrt {c}(c\gt 0)$ ,${a}_{n+1}=\sqrt {c+{a}_{n}}$ 。 n=1
步骤 1：证明数列单调递增
首先，我们证明数列 ${a}_{n}$ 单调递增。我们使用数学归纳法。
基础情况：${a}_{1}=\sqrt{c}$, ${a}_{2}=\sqrt{c+\sqrt{c}}$。显然，${a}_{2}>{a}_{1}$。
归纳假设：假设 ${a}_{k}>{a}_{k-1}$ 对于某个 $k$ 成立。
归纳步骤：证明 ${a}_{k+1}>{a}_{k}$。
${a}_{k+1}=\sqrt{c+{a}_{k}}>\sqrt{c+{a}_{k-1}}={a}_{k}$。
因此，数列 ${a}_{n}$ 单调递增。
步骤 2：证明数列有上界
我们证明数列 ${a}_{n}$ 有上界。我们猜测上界为 $\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$。
基础情况：${a}_{1}=\sqrt{c}<\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$。
归纳假设：假设 ${a}_{k}<\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$ 对于某个 $k$ 成立。
归纳步骤：证明 ${a}_{k+1}<\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$。
${a}_{k+1}=\sqrt{c+{a}_{k}}<\sqrt{c+\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}}=\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$。
因此，数列 ${a}_{n}$ 有上界 $\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$。
步骤 3：求极限
由于数列 ${a}_{n}$ 单调递增且有上界，根据单调有界原理，数列 ${a}_{n}$ 收敛。设其极限为 $L$，则有：
$L=\sqrt{c+L}$。
解得 $L=\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$。
(3) ${a}_{n}=\dfrac {{c}^{n}}{n!}(c\gt 0)$ n=1,2 ,...
步骤 1：证明数列极限为0
我们证明数列 ${a}_{n}$ 的极限为0。我们使用比值判别法。
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{c^{n+1}/(n+1)!}{c^n/n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{c}{n+1}=0$。
因此，数列 ${a}_{n}$ 的极限为0。