练习2 （2021.1）证明r[}A&OBA&A^T]=2r(A).

考查要点：本题主要考查分块矩阵的秩的性质，以及矩阵初等行变换对秩的影响。关键在于理解如何通过行变换简化分块矩阵，并利用分块对角矩阵的秩性质进行求解。

解题核心思路：

1. 关键观察：下左分块$BA$的行向量可由$A$的行向量线性表示，因此可通过初等行变换将其消去，转化为零矩阵，此时矩阵的秩不变。
2. 分块对角矩阵的秩：将原矩阵转化为分块对角矩阵后，其秩为各对角块秩的和。
3. 转置矩阵的秩性质：$r(A) = r(A^T)$，最终得到结论。

设矩阵 $ M = \begin{bmatrix} A & O \\ BA & A^T \end{bmatrix} $。

步骤1：消去下左分块$BA$

由于$BA$的行向量可由$A$的行向量线性表示，对$M$进行初等行变换，将下左分块$BA$消去为$O$，得到新矩阵：
$\begin{bmatrix} A & O \\ O & A^T \end{bmatrix}$
关键点：初等行变换不改变矩阵的秩，因此$r(M) = r\left(\begin{bmatrix} A & O \\ O & A^T \end{bmatrix}\right)$。

步骤2：计算分块对角矩阵的秩

分块对角矩阵$\begin{bmatrix} A & O \\ O & A^T \end{bmatrix}$的秩为各对角块秩的和：
$r\left(\begin{bmatrix} A & O \\ O & A^T \end{bmatrix}\right) = r(A) + r(A^T)$

步骤3：利用转置矩阵的秩性质

根据矩阵秩的性质，$r(A) = r(A^T)$，因此：
$r(M) = r(A) + r(A) = 2r(A)$